활꼴이란?
활꼴은 원 위의 두 점을 잇는 직선인 현(弦)과 그 현이 잘라낸 호로 둘러싸인 영역을 말합니다. 위가 평평하게 잘린 한 조각처럼 보이죠. 활꼴은 원의 반지름 \(r\)과 호에 대응하는 중심각 \(\theta\)로 정해집니다. 이 계산기는 활꼴의 핵심 요소를 한꺼번에 알려줍니다. 즉 현의 길이, 호의 길이, 활꼴의 높이(시상고, sagitta), 중심에서 현까지의 거리, 넓이, 그리고 둘레를 모두 한 번에 구할 수 있습니다.
사용 방법
먼저 원의 반지름을 입력하고 길이 단위(mm, cm, m, km, in, ft, yd, mi)를 선택하세요. 이어서 중심각을 입력하고 도(degrees) 또는 라디안(radians) 중 하나를 고릅니다. 계산기는 내부적으로 SI 단위로 변환해 기하학적 값을 계산한 뒤, 선택한 단위로 길이를, 그 단위의 제곱으로 넓이를, 그리고 각도는 라디안과 도 두 가지로 함께 표시합니다. 각도의 유효 범위는 0°에서 360°(0에서 2π 라디안)이며, 180°일 때는 현이 지름이 되어 활꼴이 반원이 됩니다.
공식 풀이
θ를 라디안으로, r을 반지름이라 하면 다음과 같습니다. 현의 길이는 \(c = 2r\cdot\sin\tfrac{\theta}{2}\), 호의 길이는 \(s = r\cdot\theta\), 높이는 \(h = r\left(1 - \cos\tfrac{\theta}{2}\right)\), 중심에서 현까지의 거리는 \(d = r\cdot\cos\tfrac{\theta}{2} = r - h\), 넓이는 다음과 같습니다.
$$A = \frac{r^2}{2}\left(\theta - \sin\theta\right)$$둘레는 간단히 \(P = c + s\)로 구합니다. θ가 180°를 넘으면 \(\sin\theta\)가 음수가 되므로, 넓이 공식은 자동으로 더 큰 쪽(우활꼴, major segment)의 넓이를 돌려줍니다.
계산 예시
반지름이 5 cm이고 중심각이 90°(θ = 1.570796 rad)인 경우를 살펴봅시다. 현 \(c = 10\cdot\sin(0.785398) = 7.0711\) cm, 호 \(s = 5\cdot1.570796 = 7.8540\) cm, 높이 \(h = 5(1 - 0.707107) = 1.4645\) cm, 중심에서 현까지의 거리 \(d = 3.5355\) cm, 넓이 \(A = 12.5(1.570796 - 1) = 7.1350\) cm², 둘레 \(P = 14.9250\) cm가 됩니다.
자주 묻는 질문
활꼴과 부채꼴은 같은 건가요? 아닙니다. 부채꼴은 두 반지름과 호로 둘러싸인 영역(피자 한 조각 모양)이고, 활꼴은 현과 호로 둘러싸인 영역입니다. 활꼴의 넓이는 부채꼴의 넓이에서 삼각형의 넓이를 뺀 값과 같습니다.
시상고(sagitta)란 무엇인가요? 시상고는 활꼴의 높이 h를 말하며, 현에서 호까지 수직으로 잰 거리 중 가장 긴 값을 가리킵니다.
각도가 180°를 넘어도 되나요? 됩니다. 180°에서 360° 사이의 각도는 더 큰 쪽인 우활꼴(major segment)을 나타내며, 넓이 공식이 이 경우를 그대로 처리해 줍니다.
