ما هي القطعة الدائرية؟
القطعة الدائرية هي الجزء من الدائرة المحصور بين وتر (وهو خط مستقيم يصل بين نقطتين على محيط الدائرة) والقوس الذي يقطعه هذا الوتر. تبدو وكأنها شريحة ذات سطح علوي مسطّح. وتُعرَّف القطعة بنصف قطر الدائرة الأصلية \(r\) والزاوية المركزية \(\theta\) المقابلة للقوس. تعرض لك هذه الحاسبة جميع الخصائص المهمة دفعة واحدة: طول الوتر، وطول القوس، وارتفاع القطعة (السهم)، والمسافة من المركز إلى الوتر، والمساحة، والمحيط.
طريقة الاستخدام
أدخل نصف قطر الدائرة واختر وحدة الطول (مم، سم، م، كم، إنش، قدم، ياردة أو ميل). ثم أدخل الزاوية المركزية واختر بين الدرجات أو الراديان. تُحوِّل الحاسبة القيم داخليًا إلى وحدات النظام الدولي، وتُجري الحسابات الهندسية، ثم تُعيد لك الأطوال بالوحدة التي اخترتها، والمساحة بمربع تلك الوحدة، والزاوية بكلٍّ من الراديان والدرجات. المجال الصالح للزاوية هو من 0 إلى 360 درجة (أي من 0 إلى \(2\pi\) راديان)؛ وعند 180 درجة يصبح الوتر قطرًا وتغدو القطعة نصف دائرة.
شرح المعادلات
حيث \(\theta\) بالراديان و \(r\) نصف القطر: يُحسب الوتر بالعلاقة $$c = 2r\cdot\sin\tfrac{\theta}{2},$$ والقوس $$s = r\cdot\theta,$$ والارتفاع $$h = r\left(1 - \cos\tfrac{\theta}{2}\right),$$ والمسافة من المركز إلى الوتر $$d = r\cdot\cos\tfrac{\theta}{2} = r - h,$$ والمساحة $$A = \frac{r^2}{2}\left(\theta - \sin\theta\right).$$ أما المحيط فهو ببساطة $$P = c + s.$$ وتُعطي معادلة المساحة تلقائيًا قيمة القطعة الكبرى عندما تتجاوز \(\theta\) زاوية 180 درجة، لأن قيمة \(\sin\theta\) تصبح سالبة عندها.
مثال محلول
لنصف قطر يساوي 5 سم وزاوية مركزية مقدارها 90 درجة (\(\theta = 1.570796\) راديان): الوتر \(c = 10\cdot\sin(0.785398) = 7.0711\) سم، والقوس \(s = 5\cdot 1.570796 = 7.8540\) سم، والارتفاع \(h = 5(1 - 0.707107) = 1.4645\) سم، والعمود المركزي \(d = 3.5355\) سم، والمساحة \(A = 12.5(1.570796 - 1) = 7.1350\) سم²، والمحيط \(P = 14.9250\) سم.
الأسئلة الشائعة
هل القطعة الدائرية هي نفسها القطاع الدائري؟ لا. القطاع محصور بين نصفي قطر وقوس (أي يشبه شريحة الفطيرة)؛ أما القطعة فمحصورة بين وتر وقوس. وتساوي مساحة القطعة مساحة القطاع مطروحًا منها مساحة المثلث.
ما هو السهم (السجيتا)؟ السهم هو ارتفاع القطعة \(h\)، أي أكبر مسافة عمودية بين الوتر والقوس.
هل يمكن أن تتجاوز الزاوية 180 درجة؟ نعم. تصف الزوايا بين 180 و360 درجة القطعة الكبرى، وتتعامل معادلة المساحة مع هذه الحالة مباشرة.
