ما هي القطعة الدائرية؟
القطعة الدائرية هي الجزء من الدائرة الذي يقتطعه خط مستقيم (الوتر) — أي المنطقة المنحنية على هيئة قوس بين الوتر والقوس الذي يعلوه. وأبسط طريقة لوصف هذه القطعة هي عبر نصف قطر الدائرة \(r\) وارتفاع القطعة \(h\) (ويُسمى أيضًا السهم)، وهو أقصى مسافة من الوتر صعودًا حتى القوس. والأمر هندسة محضة تصلح لأي وحدة قياس؛ فقط احرص أن يكون كل من \(r\) و \(h\) بالوحدة الطولية نفسها، فتأتي المساحة بمربع تلك الوحدة.
كيفية استخدام هذه الحاسبة
أدخل نصف القطر \(r\) وارتفاع القطعة \(h\). يجب أن يحقق الارتفاع الشرط \(0 < h \le 2r\): فعندما يكون \(h = r\) تحصل على نصف دائرة، وعندما يكون \(h = 2r\) تصبح القطعة هي الدائرة كاملةً. اختر عدد الأرقام المعنوية التي تريد عرضها (هذا يؤثر في طريقة العرض فقط لا في الحساب). تُعيد الأداة مساحة القطعة \(S\)، والزاوية المركزية \(\theta\) بالراديان والدرجات معًا، وطول القوس \(L\)، وطول الوتر \(c\).
شرح المعادلات
تُحسب الزاوية المركزية أولًا من الارتفاع:
$$\theta = 2\cdot\arccos\!\left(1 - \frac{h}{r}\right)$$أما طول القوس فهو \(L = r\cdot\theta\)، والوتر هو \(c = 2\cdot\sqrt{h(2r - h)}\). وتجمع المساحة بين حد القطاع الدائري وتصحيح للمثلث:
$$S = \frac{\theta}{2}\cdot r^{2} - (r - h)\cdot\sqrt{h(2r - h)}$$وعندما يكون \(h > r\) يصبح الحد \((r - h)\) سالبًا، وهذا يضيف بالضبط المساحة الزائدة عن نصف الدائرة.
مثال محلول
لنأخذ \(r = 1\) و \(h = 0.5\). عندها \(1 - h/r = 0.5\)، إذن
$$\theta = 2\cdot\arccos(0.5) = 2.0943951 \text{ راديان} = 120^{\circ}$$وطول القوس \(L = 1 \times 2.0943951 = 2.0943951\). وبما أن \(h(2r - h) = 0.75\)، فإن \(\sqrt{0.75} = 0.8660254\)، ومنه \(c = 1.7320508\). وأخيرًا
$$S = 1.0471976 - 0.5\cdot 0.8660254 = 0.6141848$$الأسئلة الشائعة
ما هو السهم؟ هو ارتفاع القطعة \(h\) — أي المسافة العمودية من منتصف الوتر إلى القوس.
ماذا لو كان \(h\) يساوي \(2r\)؟ تصبح القطعة هي الدائرة بأكملها: \(\theta = 2\pi\)، وطول الوتر \(c = 0\)، والمساحة \(S = \pi r^{2}\).
هل يمكن أن تتجاوز المساحة نصف الدائرة؟ نعم. عندما يكون \(h > r\) تكون القطعة أكبر من نصف الدائرة، والمعادلة تراعي ذلك تلقائيًا.
