वृत्तखंड क्या होता है?
वृत्तखंड किसी वृत्त का वह भाग होता है जिसे एक सीधी रेखा (जिसे जीवा कहते हैं) से "काट" दिया जाता है — यानी जीवा और उसके ऊपर के चाप के बीच का धनुषाकार, घुमावदार क्षेत्र। ऐसे खंड को बताने का सबसे सहज तरीका है वृत्त की त्रिज्या \(r\) और खंड की ऊँचाई \(h\) (जिसे सैजिटा भी कहते हैं) — यह जीवा से चाप तक की अधिकतम दूरी होती है। यह शुद्ध ज्यामिति है और किसी भी इकाई में काम करती है; बस r और h को एक ही लंबाई-इकाई में रखें, तो क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में मिलेगा।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
त्रिज्या \(r\) और खंड की ऊँचाई \(h\) दर्ज करें। ऊँचाई को \(0 < h \le 2r\) की शर्त माननी चाहिए: जब \(h = r\) हो तो आपको अर्धवृत्त मिलता है, और जब \(h = 2r\) हो तो खंड पूरा वृत्त बन जाता है। आप जितने सार्थक अंक दिखाना चाहें, वह चुनें (इससे केवल प्रदर्शन बदलता है, गणित नहीं)। यह टूल खंड का क्षेत्रफल S, केंद्रीय कोण \(\theta\) (रेडियन और डिग्री दोनों में), चाप की लंबाई L और जीवा की लंबाई c बताता है।
सूत्रों की समझ
सबसे पहले ऊँचाई से केंद्रीय कोण निकाला जाता है: \(\theta = 2\cdot\arccos(1 - h/r)\)। चाप की लंबाई \(L = r\cdot\theta\) होती है, और जीवा \(c = 2\cdot\sqrt{h(2r - h)}\)। क्षेत्रफल में वृत्त-त्रिज्यखंड वाला पद और एक त्रिभुज-सुधार जोड़ा जाता है:
$$S = \frac{\theta}{2}\cdot r^{2} - (r - h)\cdot\sqrt{h(2r - h)}$$जब \(h > r\) हो, तो \((r - h)\) ऋणात्मक हो जाता है, जो सही ढंग से अर्धवृत्त से अधिक क्षेत्रफल जोड़ देता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(r = 1\) और \(h = 0.5\)। तब \(1 - h/r = 0.5\), इसलिए \(\theta = 2\cdot\arccos(0.5) = 2.0943951\) रेडियन \(= 120\degree\)। चाप की लंबाई \(L = 1 \times 2.0943951 = 2.0943951\)। चूँकि \(h(2r - h) = 0.75\), इसलिए \(\sqrt{0.75} = 0.8660254\), और \(c = 1.7320508\)। अंत में $$S = 1.0471976 - 0.5\cdot 0.8660254 = 0.6141848$$
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
सैजिटा क्या है? यह खंड की ऊँचाई h है — जीवा के मध्यबिंदु से चाप तक की लंबवत दूरी।
अगर h बराबर 2r हो तो क्या होगा? तब खंड पूरा वृत्त बन जाता है: \(\theta = 2\pi\), जीवा की लंबाई \(c = 0\), और \(S = \pi r^{2}\)।
क्या क्षेत्रफल अर्धवृत्त से अधिक हो सकता है? हाँ। जब \(h > r\) हो, तो खंड वृत्त के आधे से बड़ा होता है, और यह सूत्र इसे अपने आप ध्यान में रख लेता है।
