Что такое сегмент круга?
Сегмент круга — это часть круга, «отрезанная» прямой линией (хордой). Это выпуклая, похожая на арку область между хордой и дугой над ней. Удобнее всего задавать такой сегмент через радиус круга r и высоту сегмента h (её также называют сагиттой) — это наибольшее расстояние от хорды вверх до дуги. Здесь работает чистая геометрия, не зависящая от единиц измерения: достаточно указывать r и h в одной и той же единице длины, и площадь получится в этой единице, возведённой в квадрат.
Как пользоваться калькулятором
Введите радиус r и высоту сегмента h. Высота должна удовлетворять условию \(0 < h \le 2r\): при \(h = r\) получается полукруг, а при \(h = 2r\) сегмент совпадает со всем кругом. Выберите количество значащих цифр для вывода (это влияет только на отображение результата, но не на сами расчёты). Калькулятор вернёт площадь сегмента S, центральный угол θ в радианах и градусах, длину дуги L и длину хорды c.
Разбор формул
Сначала по высоте находим центральный угол: $$\theta = 2\arccos\!\left(1 - \frac{h}{r}\right)$$ Длина дуги равна $$L = r\cdot\theta,$$ а хорда вычисляется по формуле $$c = 2\sqrt{h(2r - h)}.$$ Площадь складывается из площади кругового сектора с поправкой на треугольник: $$S = \frac{\theta}{2}\cdot r^{2} - (r - h)\sqrt{h(2r - h)}.$$ Когда \(h > r\), выражение \((r - h)\) становится отрицательным — и это правильно добавляет площадь сверх полукруга.
Пример расчёта
Возьмём \(r = 1\) и \(h = 0{,}5\). Тогда \(1 - h/r = 0{,}5\), значит $$\theta = 2\arccos(0{,}5) = 2{,}0943951 \text{ рад} = 120°.$$ Длина дуги $$L = 1 \times 2{,}0943951 = 2{,}0943951.$$ Так как \(h(2r - h) = 0{,}75\), то \(\sqrt{0{,}75} = 0{,}8660254\), откуда \(c = 1{,}7320508\). Наконец, $$S = 1{,}0471976 - 0{,}5\cdot 0{,}8660254 = 0{,}6141848.$$
Частые вопросы
Что такое сагитта? Это высота сегмента \(h\) — перпендикулярное расстояние от середины хорды до дуги.
Что будет, если h равно 2r? Сегмент превращается в полный круг: \(\theta = 2\pi\), длина хорды \(c = 0\), а \(S = \pi r^{2}\).
Может ли площадь превышать половину круга? Да. Когда \(h > r\), сегмент больше половины круга, и формула автоматически это учитывает.
