활꼴이란?
활꼴(circular segment)은 원을 직선(현)으로 잘랐을 때 생기는 영역으로, 현과 그 위쪽 호 사이에 놓인 활처럼 휘어진 부분을 말합니다. 이런 활꼴을 가장 직관적으로 나타내는 방법은 원의 반지름 \(r\)과 활꼴 높이 \(h\)(시그마, sagitta)를 쓰는 것입니다. 여기서 높이란 현에서 호의 가장 높은 지점까지의 최대 거리를 뜻합니다. 이는 순수한 기하학 계산이므로 어떤 단위에서도 똑같이 적용됩니다. r과 h를 같은 길이 단위로 맞춰 넣기만 하면, 넓이는 그 단위의 제곱으로 나옵니다.
계산기 사용법
반지름 \(r\)과 활꼴 높이 \(h\)를 입력하세요. 높이는 \(0 < h \le 2r\) 범위를 만족해야 합니다. \(h = r\)이면 반원이 되고, \(h = 2r\)이면 활꼴이 원 전체와 같아집니다. 표시할 유효숫자 자릿수를 골라 주세요(이 설정은 표시 형식에만 영향을 줄 뿐 실제 계산값은 바꾸지 않습니다). 계산기는 활꼴 넓이 \(S\), 중심각 \(\theta\)(라디안과 도 단위), 호의 길이 \(L\), 현의 길이 \(c\)를 함께 알려 줍니다.
공식 풀이
먼저 높이로부터 중심각을 구합니다:
$$\theta = 2\cdot\arccos\!\left(1 - \tfrac{h}{r}\right)$$호의 길이는 \(L = r\cdot\theta\)이고, 현의 길이는 \(c = 2\cdot\sqrt{h(2r - h)}\)입니다. 넓이는 부채꼴 항에서 삼각형 보정 항을 빼서 구합니다:
$$S = \frac{\theta}{2}\cdot r^{2} - (r - h)\cdot\sqrt{h(2r - h)}$$\(h > r\)일 때는 \((r - h)\) 항이 음수가 되는데, 이로써 반원을 넘어서는 넓이가 정확히 더해집니다.
계산 예시
\(r = 1\), \(h = 0.5\)인 경우를 살펴봅시다. \(1 - h/r = 0.5\)이므로 \(\theta = 2\cdot\arccos(0.5) = 2.0943951\ \text{rad} = 120°\)가 됩니다. 호의 길이는 \(L = 1 \times 2.0943951 = 2.0943951\)입니다. \(h(2r - h) = 0.75\)이고 \(\sqrt{0.75} = 0.8660254\)이므로 \(c = 1.7320508\)입니다. 마지막으로 \(S = 1.0471976 - 0.5\cdot 0.8660254 = 0.6141848\)이 됩니다.
자주 묻는 질문
시그마(sagitta)란 무엇인가요? 바로 활꼴 높이 \(h\)를 가리킵니다. 현의 중점에서 호까지 수직으로 잰 거리입니다.
h가 2r과 같으면 어떻게 되나요? 활꼴이 원 전체가 됩니다. 이때 \(\theta = 2\pi\), 현의 길이 \(c = 0\), 넓이 \(S = \pi r^{2}\)입니다.
활꼴 넓이가 반원보다 클 수도 있나요? 네, 그렇습니다. \(h > r\)이면 활꼴이 원의 절반보다 커지며, 공식이 이를 자동으로 반영합니다.
