Qu'est-ce qu'un segment circulaire ?
Un segment circulaire est la portion d'un disque « tranchée » par une droite (une corde) — cette surface incurvée, en forme d'arche, comprise entre la corde et l'arc qui la surplombe. La façon la plus naturelle de décrire un tel segment consiste à utiliser le rayon du cercle r et la hauteur du segment h (aussi appelée la flèche), c'est-à-dire la distance maximale entre la corde et l'arc. Il s'agit de géométrie pure, valable dans n'importe quelle unité : il suffit d'exprimer \(r\) et \(h\) dans la même unité de longueur, et l'aire s'obtient dans cette unité au carré.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le rayon r et la hauteur du segment h. Cette hauteur doit respecter la condition \(0 < h \le 2r\) : lorsque \(h = r\), vous obtenez un demi-cercle, et lorsque \(h = 2r\), le segment correspond au cercle entier. Choisissez le nombre de chiffres significatifs à afficher (ce réglage n'agit que sur l'affichage, pas sur le calcul). L'outil renvoie l'aire du segment S, l'angle au centre \(\theta\) en radians et en degrés, la longueur d'arc L et la longueur de la corde c.
Les formules expliquées
On détermine d'abord l'angle au centre à partir de la hauteur :
$$\theta = 2\cdot\arccos\!\left(1 - \frac{h}{r}\right)$$La longueur d'arc vaut \(L = r\cdot\theta\), et la corde \(c = 2\cdot\sqrt{h(2r - h)}\). L'aire combine un terme de secteur circulaire et une correction triangulaire :
$$S = \frac{\theta}{2}\cdot r^{2} - (r - h)\cdot\sqrt{h(2r - h)}$$Quand \(h > r\), le terme \((r - h)\) devient négatif, ce qui ajoute correctement l'aire située au-delà du demi-cercle.
Exemple résolu
Prenons \(r = 1\) et \(h = 0{,}5\). Alors \(1 - h/r = 0{,}5\), donc
$$\theta = 2\cdot\arccos(0{,}5) = 2{,}0943951 \text{ rad} = 120°$$La longueur d'arc \(L = 1 \times 2{,}0943951 = 2{,}0943951\). Avec \(h(2r - h) = 0{,}75\), on a \(\sqrt{0{,}75} = 0{,}8660254\), d'où \(c = 1{,}7320508\). Enfin
$$S = 1{,}0471976 - 0{,}5\cdot 0{,}8660254 = 0{,}6141848$$FAQ
Qu'est-ce que la flèche ? C'est la hauteur du segment \(h\) — la distance perpendiculaire entre le milieu de la corde et l'arc.
Que se passe-t-il si h est égal à 2r ? Le segment devient le cercle tout entier : \(\theta = 2\pi\), la corde a une longueur \(c = 0\) et \(S = \pi r^{2}\).
L'aire peut-elle dépasser celle d'un demi-cercle ? Oui. Lorsque \(h > r\), le segment est plus grand que la moitié du disque, et la formule en tient compte automatiquement.
