Qu'est-ce qu'un segment circulaire ?
Un segment circulaire est la portion d'un disque délimitée par une corde et l'arc qu'elle sous-tend. Imaginez que vous tranchez un cercle d'un trait de règle : la plus petite partie ainsi découpée (entre la droite et le bord courbe) forme un segment. Ce calculateur détermine trois mesures essentielles à partir du seul rayon et de l'angle au centre : l'aire du segment \(S\), la longueur d'arc \(L\) et la longueur de corde \(c\). Il s'agit de géométrie pure, applicable partout, quelle que soit l'unité de longueur retenue.
Comment l'utiliser
Saisissez le rayon \(r\) et l'angle au centre \(\theta\). Indiquez si l'angle est exprimé en degrés ou en radians grâce au sélecteur d'unité. L'outil convertit l'angle en radians en interne, puis applique chaque formule. Les résultats sont affichés avec une grande précision. L'angle doit être compris entre 0 et 360 degrés (0 à \(2\pi\) radians) ; pour le cercle complet, le segment devient le disque tout entier.
Les formules expliquées
Avec \(\theta\) exprimé en radians et \(r\) le rayon :
Aire : $$S = \tfrac{1}{2}\,r^{2}\left(\theta - \sin\theta\right)$$ Il s'agit de l'aire du secteur \(\tfrac{1}{2} r^{2}\theta\) à laquelle on retranche l'aire du triangle \(\tfrac{1}{2} r^{2}\sin\theta\).
Longueur d'arc : $$L = r\theta$$ Attention, c'est \(r\) multiplié par theta, et non \(2r\theta\).
Longueur de corde : $$c = 2r\cdot\sin\!\left(\theta/2\right)$$ Le sinus s'applique toujours à la valeur de l'angle en radians.
Exemple détaillé
Prenons \(r = 1\) et \(\theta = 120\) degrés. Conversion : $$\theta = 120 \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}0943951$$ On a alors \(\sin\theta = \sqrt{3}/2 \approx 0{,}8660254\). Aire $$S = 0{,}5 \times 1 \times \left(2{,}0943951 - 0{,}8660254\right) = 0{,}6141848$$ Longueur d'arc $$L = 1 \times 2{,}0943951 = 2{,}0943951$$ Corde $$c = 2 \times \sin(60^{\circ}) = 1{,}7320508 \;(\text{soit } \sqrt{3})$$
FAQ
La longueur d'arc vaut-elle \(2r\theta\) ? Non. La bonne formule est \(L = r\theta\) avec \(\theta\) en radians.
Que se passe-t-il si le rayon est nul ? Un rayon nul correspond à un point dégénéré : tous les résultats valent alors zéro.
L'angle peut-il dépasser 180 degrés ? Oui. Jusqu'à 360 degrés, la formule donne l'aire du plus grand segment ; à exactement 360 degrés, on obtient l'aire du disque complet \(\pi r^{2}\).
