À quoi sert le calculateur d'aire d'un segment d'ellipse
Cet outil de géométrie polyvalent fonctionne sur une ellipse de demi-axes a (selon l'axe des x) et b (selon l'axe des y). Vous choisissez deux points en indiquant leurs angles polaires theta0 et theta1, mesurés depuis le centre. Le calculateur renvoie l'aire S du segment elliptique délimité par l'arc elliptique et la corde reliant les deux points, la longueur c de la corde rectiligne, ainsi que la longueur L de l'arc elliptique entre ces points.
Comment l'utiliser
Saisissez les demi-axes a et b, l'angle de départ theta0 et l'angle de fin theta1, puis indiquez si les angles sont exprimés en degrés ou en radians. Les deux angles utilisent la même unité. Il s'agit ici de l'angle polaire (la direction depuis le centre), et non de l'angle paramétrique (excentrique) : un point se situe donc en \(P(\theta) = (r(\theta)\cos\theta,\ r(\theta)\sin\theta)\), où \(r(\theta)\) est la distance du centre à l'ellipse le long de ce rayon.
Les formules
Rayon central :
$$r(\theta) = \sqrt{\frac{a^2 b^2}{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta}}$$En posant \(r_0 = r(\theta_0)\) et \(r_1 = r(\theta_1)\) :
Corde :
$$c = \sqrt{r_0^2 + r_1^2 - 2 r_0 r_1 \cos(\theta_1 - \theta_0)}$$(loi des cosinus).
Aire du segment :
$$S = F(\theta_1) - F(\theta_0) - \frac{r_0 r_1}{2}\sin(\theta_1 - \theta_0)$$où la primitive du secteur vaut
$$F(\theta) = \frac{ab}{2}\left[\theta - \arctan\frac{(b - a)\sin 2\theta}{(b + a) + (b - a)\cos 2\theta}\right]$$En retranchant le triangle central du secteur, on obtient le segment.
Longueur de l'arc : \(L\) est la longueur de l'arc elliptique, calculée par intégration numérique de \(ds = \sqrt{r^2 + (dr/d\theta)^2}\, d\theta\) entre \(\theta_0\) et \(\theta_1\) (méthode de Simpson composée, 2000 pas), ce qui correspond à l'intégrale elliptique incomplète de seconde espèce à la précision d'affichage.
Exemple résolu
Pour \(a = 3\), \(b = 2\), \(\theta_0 = 0\) deg, \(\theta_1 = 90\) deg : \(r_0 = 3\), \(r_1 = 2\). Corde
$$c = \sqrt{9 + 4 - 0} = \sqrt{13} = 3{,}6055512755$$Aire du secteur = quart d'ellipse
$$= \frac{\pi a b}{4} = 1{,}5\pi = 4{,}7123889804,$$triangle \(= 3\), d'où \(S = 1{,}7123889804\). La longueur de l'arc du quart d'ellipse vaut \(L = 3{,}9663598973\).
FAQ
theta est-il l'angle paramétrique ? Non — il s'agit de l'angle polaire mesuré depuis le centre, si bien que \(r(\theta)\) représente la distance réelle du centre à la courbe.
Que se passe-t-il si \(a = b\) ? L'ellipse devient un cercle : \(L = a|\theta_1 - \theta_0|\) et \(S = \frac{a^2}{2}(|\theta_1 - \theta_0| - \sin|\theta_1 - \theta_0|)\).
Pourquoi la longueur de l'arc est-elle calculée numériquement ? La longueur d'un arc elliptique n'admet aucune forme close élémentaire ; l'intégration numérique la reproduit avec de nombreuses décimales sans recourir à une bibliothèque de fonctions spéciales.
