Elips Dilimi Alanı Hesaplama aracı ne işe yarar?
Bu evrensel geometri aracı, yarı eksenleri \(a\) (x ekseni boyunca) ve \(b\) (y ekseni boyunca) olan bir elips üzerinde çalışır. Merkezden ölçülen kutupsal açıları \(\theta_0\) ve \(\theta_1\) vererek iki nokta seçersiniz. Hesaplayıcı; elips yayı ve iki nokta arasındaki kiriş ile sınırlanan elips diliminin \(S\) alanını, düz kiriş uzunluğu \(c\)'yi ve iki nokta arasındaki elips yay uzunluğu \(L\)'yi verir.
Nasıl kullanılır?
Yarı eksenler \(a\) ve \(b\)'yi, başlangıç açısı \(\theta_0\) ile bitiş açısı \(\theta_1\)'i girin ve açıların derece mi yoksa radyan cinsinden mi olacağını seçin. Her iki açı da aynı birimi kullanır. Buradaki açı, parametrik/eksantrik açı değil, kutupsal (merkezsel) yöndür. Dolayısıyla bir nokta \(P(\theta) = (r(\theta)\cos\theta,\; r(\theta)\sin\theta)\) konumundadır; burada \(r(\theta)\), o ışın boyunca merkezden elipse olan uzaklıktır.
Formüller
Merkezsel yarıçap:
$$r(\theta) = \sqrt{\dfrac{a^2 b^2}{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta}}$$\(r_0 = r(\theta_0)\) ve \(r_1 = r(\theta_1)\) olmak üzere:
Kiriş (kosinüs teoremi):
$$c = \sqrt{r_0^2 + r_1^2 - 2 r_0 r_1 \cos(\theta_1 - \theta_0)}$$Dilim alanı:
$$S = F(\theta_1) - F(\theta_0) - \frac{r_0 r_1}{2}\sin(\theta_1 - \theta_0)$$burada sektör ilkeli
$$F(\theta) = \frac{ab}{2}\left[\theta - \arctan\frac{(b-a)\sin 2\theta}{(b+a)+(b-a)\cos 2\theta}\right]$$Sektörden merkezsel üçgen çıkarıldığında geriye dilim kalır.
Yay uzunluğu: \(L\), elips yay uzunluğudur ve \(ds = \sqrt{r^2 + (dr/d\theta)^2}\, d\theta\) ifadesi \(\theta_0\)'dan \(\theta_1\)'e sayısal olarak integre edilerek (bileşik Simpson yöntemi, 2000 adım) hesaplanır. Bu sonuç, gösterilen hassasiyette ikinci tür eksik eliptik integralle örtüşür.
Çözümlü örnek
\(a = 3\), \(b = 2\), \(\theta_0 = 0\) derece, \(\theta_1 = 90\) derece için: \(r_0 = 3\), \(r_1 = 2\). Kiriş $$c = \sqrt{9 + 4 - 0} = \sqrt{13} = 3{,}6055512755$$ Sektör alanı = çeyrek elips = $$\frac{\pi a b}{4} = 1{,}5\pi = 4{,}7123889804,$$ üçgen = 3, dolayısıyla \(S = 1{,}7123889804\). Çeyrek elipsin yay uzunluğu \(L = 3{,}9663598973\).
Sıkça sorulan sorular
\(\theta\) parametrik açı mı? Hayır — merkezden ölçülen kutupsal açıdır; bu yüzden \(r(\theta)\), merkezden eğriye olan gerçek uzaklıktır.
\(a = b\) olursa ne olur? Elips bir çembere dönüşür: \(L = a|\theta_1 - \theta_0|\) ve \(S = \frac{a^2}{2}(|\theta_1 - \theta_0| - \sin|\theta_1 - \theta_0|)\).
Yay uzunluğu neden sayısal olarak hesaplanıyor? Elips yay uzunluğunun temel (kapalı) bir formülü yoktur; sayısal integrasyon, özel bir fonksiyon kütüphanesine gerek kalmadan sonucu birçok basamak doğrulukla verir.
