Công cụ tính diện tích hình viên phân elip làm được gì
Đây là công cụ hình học áp dụng được cho mọi elip có bán trục a (theo trục x) và b (theo trục y). Bạn chọn hai điểm bằng cách nhập góc cực theta0 và theta1 của chúng, đo từ tâm. Công cụ sẽ trả về diện tích S của hình viên phân elip giới hạn bởi cung elip và dây cung nối hai điểm, độ dài dây cung thẳng c, cùng độ dài cung elip L giữa hai điểm đó.
Cách sử dụng
Nhập hai bán trục a và b, góc đầu theta0 và góc cuối theta1, rồi chọn đơn vị góc là độ hay radian. Cả hai góc dùng chung một đơn vị. Lưu ý góc ở đây là góc cực (góc tâm), không phải góc tham số (góc lệch tâm), nên một điểm nằm tại \(P(\theta) = (r(\theta)\cos\theta,\ r(\theta)\sin\theta)\), trong đó \(r(\theta)\) là khoảng cách từ tâm đến elip dọc theo tia đó.
Các công thức
Bán kính cực:
$$r(\theta) = \sqrt{\frac{a^2 b^2}{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta}}$$Đặt \(r_0 = r(\theta_0)\), \(r_1 = r(\theta_1)\):
Dây cung:
$$c = \sqrt{r_0^2 + r_1^2 - 2 r_0 r_1 \cos(\theta_1 - \theta_0)}$$(định lý hàm cosin).
Diện tích hình viên phân:
$$S = F(\theta_1) - F(\theta_0) - \frac{r_0 r_1}{2} \sin(\theta_1 - \theta_0)$$với nguyên hàm của hình quạt là
$$F(\theta) = \frac{ab}{2}\left[\theta - \arctan\frac{(b - a)\sin 2\theta}{(b + a) + (b - a)\cos 2\theta}\right]$$Lấy hình quạt trừ đi tam giác ở tâm sẽ còn lại hình viên phân.
Độ dài cung: \(L\) là độ dài cung elip, được tính bằng cách lấy tích phân số của \(ds = \sqrt{r^2 + (dr/d\theta)^2}\, d\theta\) từ \(\theta_0\) đến \(\theta_1\) (quy tắc Simpson ghép, 2000 bước), cho kết quả khớp với tích phân elip loại hai không đầy đủ đến độ chính xác hiển thị.
Ví dụ minh họa
Với \(a = 3\), \(b = 2\), \(\theta_0 = 0\) độ, \(\theta_1 = 90\) độ: \(r_0 = 3\), \(r_1 = 2\). Dây cung
$$c = \sqrt{9 + 4 - 0} = \sqrt{13} = 3{,}6055512755$$Diện tích hình quạt = một phần tư elip = \(\frac{\pi a b}{4} = 1{,}5\pi = 4{,}7123889804\), tam giác \(= 3\), nên \(S = 1{,}7123889804\). Độ dài cung của một phần tư elip \(L = 3{,}9663598973\).
Câu hỏi thường gặp
Theta có phải là góc tham số không? Không — đó là góc cực tính từ tâm, nên \(r(\theta)\) chính là khoảng cách thực từ tâm đến đường cong.
Nếu a = b thì sao? Khi đó elip trở thành đường tròn: \(L = a|\theta_1 - \theta_0|\) và \(S = \frac{a^2}{2}(|\theta_1 - \theta_0| - \sin|\theta_1 - \theta_0|)\).
Tại sao độ dài cung phải tính bằng phương pháp số? Độ dài cung elip không có công thức đóng dạng sơ cấp; phép tích phân số tái hiện giá trị này chính xác đến nhiều chữ số mà không cần thư viện hàm đặc biệt.
