यह दीर्घवृत्त खंड क्षेत्रफल क␏ैलकुलेटर क्या करता है
यह सार्वभौमिक ज्यामिति टूल किसी भी ऐसे दीर्घवृत्त पर काम करता है जिसके अर्ध-अक्ष \(a\) (x-दिशा में) और \(b\) (y-दिशा में) हों। आप केंद्र से मापे गए दो ध्रुवीय कोण \(\theta_0\) और \(\theta_1\) देकर दो बिंदु चुनते हैं। कैलकुलेटर आपको तीन चीज़ें लौटाता है—दीर्घवृत्तीय चाप और दोनों बिंदुओं के बीच की जीवा से घिरे खंड का क्षेत्रफल \(S\), सीधी जीवा की लंबाई \(c\), और दोनों बिंदुओं के बीच दीर्घवृत्तीय चाप की लंबाई \(L\)।
इसका उपयोग कैसे करें
अर्ध-अक्ष \(a\) और \(b\), प्रारंभिक कोण \(\theta_0\) और अंतिम कोण \(\theta_1\) दर्ज करें, और चुनें कि कोण डिग्री में हैं या रेडियन में। दोनों कोणों के लिए एक ही इकाई इस्तेमाल होती है। ध्यान रखें—यहाँ कोण ध्रुवीय (केंद्रीय) दिशा है, पैरामीट्रिक/उत्केंद्रित कोण नहीं। इसलिए कोई बिंदु \(P(\theta) = (r(\theta)\cos\theta,\ r(\theta)\sin\theta)\) पर स्थित होता है, जहाँ \(r(\theta)\) उस किरण के साथ केंद्र से दीर्घवृत्त तक की दूरी है।
सूत्र
केंद्रीय त्रिज्या:
$$r(\theta) = \sqrt{\dfrac{a^2 b^2}{b^2 \cos^2\theta + a^2 \sin^2\theta}}$$मान लें \(r_0 = r(\theta_0)\) और \(r_1 = r(\theta_1)\):
जीवा:
$$c = \sqrt{r_0^2 + r_1^2 - 2 r_0 r_1 \cos(\theta_1 - \theta_0)}$$(कोज्या नियम से)।
खंड क्षेत्रफल:
$$S = F(\theta_1) - F(\theta_0) - \frac{r_0 r_1}{2} \sin(\theta_1 - \theta_0)$$जहाँ त्रिज्यखंड का मूल फलन
$$F(\theta) = \frac{ab}{2}\left[\theta - \arctan\frac{(b - a)\sin 2\theta}{(b + a) + (b - a)\cos 2\theta}\right]$$है। त्रिज्यखंड में से केंद्रीय त्रिभुज घटाने पर शेष खंड बचता है।
चाप की लंबाई: \(L\) दीर्घवृत्तीय चाप की लंबाई है, जिसे \(ds = \sqrt{r^2 + (dr/d\theta)^2}\, d\theta\) का \(\theta_0\) से \(\theta_1\) तक संख्यात्मक समाकलन करके निकाला जाता है (संयुक्त सिम्पसन विधि, 2000 चरण)। यह द्वितीय प्रकार के अपूर्ण दीर्घवृत्तीय समाकल से प्रदर्शित परिशुद्धता तक मेल खाता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लें \(a = 3\), \(b = 2\), \(\theta_0 = 0\) डिग्री, \(\theta_1 = 90\) डिग्री: तब \(r_0 = 3\), \(r_1 = 2\)। जीवा
$$c = \sqrt{9 + 4 - 0} = \sqrt{13} = 3.6055512755$$त्रिज्यखंड क्षेत्रफल = चौथाई दीर्घवृत्त =
$$\frac{\pi a b}{4} = 1.5\pi = 4.7123889804$$त्रिभुज = 3, इसलिए \(S = 1.7123889804\)। चौथाई-दीर्घवृत्त की चाप लंबाई \(L = 3.9663598973\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या \(\theta\) पैरामीट्रिक कोण है? नहीं—यह केंद्र से मापा गया ध्रुवीय कोण है, इसलिए \(r(\theta)\) केंद्र से वक्र तक की वास्तविक दूरी होती है।
अगर \(a = b\) हो तो? तब दीर्घवृत्त एक वृत्त बन जाता है: \(L = a|\theta_1 - \theta_0|\) और \(S = \frac{a^2}{2}(|\theta_1 - \theta_0| - \sin|\theta_1 - \theta_0|)\)।
चाप की लंबाई संख्यात्मक रूप से क्यों निकाली जाती है? दीर्घवृत्तीय चाप की लंबाई का कोई प्रारंभिक बंद रूप (closed form) नहीं होता; संख्यात्मक समाकलन इसे किसी विशेष-फलन लाइब्रेरी के बिना ही कई दशमलव स्थानों तक पुनः प्राप्त कर देता है।
