वृत्तखंड क्या होता है?
वृत्तखंड (circular segment) किसी वृत्त का वह भाग है जो एक जीवा और उससे बनने वाले चाप के बीच घिरा होता है। कल्पना कीजिए कि आप किसी वृत्त को एक सीधी रेखा से काट रहे हैं: रेखा और घुमावदार किनारे के बीच का छोटा हिस्सा ही वृत्तखंड कहलाता है। यह कैलकुलेटर केवल त्रिज्या और केंद्रीय कोण की मदद से तीन ज़रूरी माप निकाल देता है — वृत्तखंड का क्षेत्रफल \(S\), चाप की लंबाई \(L\), और जीवा की लंबाई \(c\)। यह शुद्ध ज्यामिति पर आधारित है और लंबाई की किसी भी इकाई के साथ हर जगह काम करता है।
इसका उपयोग कैसे करें
त्रिज्या \(r\) और केंद्रीय कोण \(\theta\) दर्ज करें। इकाई चयनकर्ता (unit selector) से चुनें कि कोण डिग्री में दिया गया है या रेडियन में। टूल कोण को अंदर ही अंदर रेडियन में बदलता है और फिर हर सूत्र की गणना करता है। परिणाम उच्च परिशुद्धता के साथ दिखाए जाते हैं। कोण 0 से 360 डिग्री (यानी 0 से \(2\pi\) रेडियन) की सीमा में होना चाहिए; पूरे वृत्त पर पहुँचने पर वृत्तखंड पूरी डिस्क के बराबर हो जाता है।
सूत्रों की व्याख्या
जहाँ \(\theta\) रेडियन में है और \(r\) त्रिज्या है:
क्षेत्रफल: $$S = \tfrac{1}{2}\,r^{2}\left(\theta - \sin\theta\right)$$ यह त्रिज्यखंड (sector) के क्षेत्रफल \(\tfrac{1}{2}\,r^{2}\theta\) में से त्रिभुज के क्षेत्रफल \(\tfrac{1}{2}\,r^{2}\sin\theta\) को घटाने पर मिलता है।
चाप की लंबाई: $$L = r\theta$$ ध्यान दें कि यह \(r\) गुणा \(\theta\) है, \(2r\theta\) नहीं।
जीवा की लंबाई: $$c = 2r\cdot\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$$ sine हमेशा कोण के रेडियन मान पर ही लागू होता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(r = 1\) और \(\theta = 120\) डिग्री। रूपांतरण: $$\theta = 120 \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \approx 2.0943951$$ अब \(\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.8660254\)। क्षेत्रफल $$S = 0.5 \times 1 \times (2.0943951 - 0.8660254) = 0.6141848$$ चाप की लंबाई $$L = 1 \times 2.0943951 = 2.0943951$$ जीवा $$c = 2 \times \sin(60^\circ) = 1.7320508$$ (जो \(\sqrt{3}\) है)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या चाप की लंबाई \(2r\theta\) होती है? नहीं। सही चाप की लंबाई \(L = r\theta\) है, जहाँ \(\theta\) रेडियन में हो।
अगर त्रिज्या शून्य हो तो? शून्य त्रिज्या एक अपभ्रष्ट (degenerate) बिंदु है, इसलिए सभी परिणाम शून्य आते हैं।
क्या कोण 180 डिग्री से अधिक हो सकता है? हाँ। 360 डिग्री तक यह सूत्र बड़े वृत्तखंड का क्षेत्रफल देता है; और ठीक 360 डिग्री पर आपको पूरी डिस्क का क्षेत्रफल \(\pi r^{2}\) मिल जाता है।
