यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल एक ऐसे घूर्णन ठोस का आयतन और बाहरी पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालता है, जो किसी वृत्तीय खंड (किसी वृत्त का वह भाग जो एक जीवा द्वारा काटा जाता है, जिसे कभी-कभी धनुष या sagitta आकार भी कहा जाता है) को उसकी जीवा के समानांतर एक अक्ष के चारों ओर घुमाने से बनता है। आप पूरे 360 डिग्री तक घुमा सकते हैं या कोई भी आंशिक कोण चुन सकते हैं; जब घूर्णन आंशिक होता है तो ठोस दो सपाट खंड-तल फलकों द्वारा कटा हुआ रहता है। यह विशुद्ध रूप से ज्यामिति/कलन का टूल है और दुनिया में कहीं भी एक समान रूप से काम करता है।
इसका उपयोग कैसे करें
चाप त्रिज्या R, खंड की ऊँचाई h (sagitta, यानी जीवा से चाप तक की अधिकतम दूरी), जीवा से घूर्णन अक्ष की दूरी d, और घूर्णन कोण दर्ज करें। एक लंबाई की इकाई (mm, cm, m या इंच) और एक कोण की इकाई (डिग्री या रेडियन) चुनें। परिणाम चुनी गई लंबाई इकाई के घन और वर्ग में दिए जाते हैं, साथ ही जीवा की लंबाई भी।
सूत्र
केंद्रीय कोण \(\alpha = 2\cdot\arccos\!\left(\frac{R-h}{R}\right)\) के साथ, खंड का क्षेत्रफल \(A = \tfrac{1}{2}R^2(\alpha - \sin\alpha)\) होता है, अर्ध-जीवा \(a = \sqrt{h(2R-h)}\) और जीवा \(c = 2a\) होती है। पैपस के प्रमेयों के अनुसार आयतन \(V = \theta\cdot R_c\cdot A\) होता है, जहाँ \(R_c\) अक्ष से खंड के क्षेत्रफल-केंद्रक की दूरी है, और पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल \(S = \theta\cdot(R_{\text{arc}}\cdot L_{\text{arc}} + R_{\text{chord}}\cdot c)\) होता है। आंशिक घूर्णन के लिए, \(A\) क्षेत्रफल वाले दो सपाट फलक जोड़े जाते हैं।
$$ V = \theta \cdot R_c \cdot A $$$$ S = \theta\left(R_{\text{arc}}\,L + d\,c\right) + 2A $$
हल किया हुआ उदाहरण
\(R = 100\ \text{mm}\), \(h = 40\ \text{mm}\), \(d = 50\ \text{mm}\) और \(\theta = 360^\circ\) के लिए: \(\alpha = 1.8546\) रेडियन, \(A = 4472.95\ \text{mm}^2\), जीवा \(c = 160\ \text{mm}\)। आयतन लगभग \(1.86\times10^{6}\ \text{mm}^3\) (\(\approx 1864\ \text{cm}^3\)) निकलता है और पृष्ठीय क्षेत्रफल लगभग \(1.39\times10^{5}\ \text{mm}^2\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
Sagitta क्या होता है? यह खंड की ऊँचाई \(h\) है, यानी जीवा से चाप के सबसे ऊँचे बिंदु तक की लंबवत दूरी। इसे \(0 < h \le 2R\) की शर्त पूरी करनी चाहिए।
आंशिक घूर्णन क्षेत्रफल क्यों जोड़ता है? छल्ले को दो कोणीय स्थानों पर काटने से दो सपाट समतल फलक उजागर होते हैं, और प्रत्येक का क्षेत्रफल खंड के क्षेत्रफल \(A\) के बराबर होता है, इसलिए पार्श्व पृष्ठ में \(2A\) जोड़ा जाता है।
क्या अक्ष जीवा से होकर गुजर सकती है? हाँ, \(d = 0\) रखें। ऋणात्मक \(d\) अक्ष को चाप वाली तरफ रखता है; भौतिक रूप से वास्तविक ठोस के लिए केंद्रक की दूरी धनात्मक रहनी चाहिए।
