Công cụ này làm gì
Công cụ này tính thể tích và diện tích mặt ngoài của một vật thể tròn xoay được tạo ra bằng cách quay một hình viên phân (phần của hình tròn bị cắt bởi một dây cung, đôi khi gọi là hình cánh cung hay phần sagitta) quanh một trục song song với dây cung đó. Bạn có thể quét trọn 360 độ hoặc bất kỳ góc nào nhỏ hơn; khi chỉ quét một phần, vật thể sẽ bị cắt cụt bởi hai mặt phẳng đầu có hình viên phân. Đây là công cụ hình học/giải tích thuần túy và cho kết quả như nhau ở mọi nơi trên thế giới.
Cách sử dụng
Nhập bán kính cung R, chiều cao viên phân h (sagitta — khoảng cách lớn nhất từ dây cung đến cung tròn), khoảng cách d từ dây cung đến trục quay, và góc quét. Chọn đơn vị độ dài (mm, cm, m hoặc inch) và đơn vị góc (độ hoặc radian). Kết quả được trả về theo lập phương và bình phương của đơn vị độ dài đã chọn, cùng với chiều dài dây cung.
Công thức
Với góc ở tâm \(\alpha = 2\cdot\arccos\!\left(\frac{R-h}{R}\right)\), diện tích viên phân là \(A = \tfrac{1}{2}R^2(\alpha - \sin\alpha)\), nửa dây cung \(a = \sqrt{h(2R-h)}\) và dây cung \(c = 2a\). Theo định lý Pappus, thể tích là
$$V = \theta\cdot R_c\cdot A$$trong đó \(R_c\) là khoảng cách từ trục đến trọng tâm diện tích của viên phân; còn diện tích mặt bên là
$$S = \theta\cdot(R_{\text{arc}}\cdot L_{\text{arc}} + R_{\text{chord}}\cdot c)$$Với góc quét một phần, ta cộng thêm hai mặt phẳng đầu, mỗi mặt có diện tích \(A\).
Ví dụ minh họa
Với \(R = 100\ \text{mm}\), \(h = 40\ \text{mm}\), \(d = 50\ \text{mm}\) và \(\theta = 360^\circ\): ta có \(\alpha = 1{,}8546\ \text{rad}\), \(A = 4472{,}95\ \text{mm}^2\), dây cung \(c = 160\ \text{mm}\). Thể tích thu được khoảng \(1{,}86\times10^6\ \text{mm}^3\) (\(\approx 1864\ \text{cm}^3\)) và diện tích bề mặt khoảng \(1{,}39\times10^5\ \text{mm}^2\).
Câu hỏi thường gặp
Sagitta là gì? Đó chính là chiều cao viên phân \(h\) — khoảng cách vuông góc từ dây cung đến điểm cao nhất của cung tròn. Nó phải thỏa mãn \(0 < h \le 2R\).
Vì sao quét một phần lại làm tăng diện tích? Khi cắt vành tròn tại hai vị trí góc, ta để lộ ra hai mặt phẳng, mỗi mặt bằng diện tích viên phân \(A\), nên phải cộng thêm \(2A\) vào diện tích mặt bên.
Trục quay có thể đi qua dây cung không? Có, hãy đặt \(d = 0\). Giá trị \(d\) âm sẽ đặt trục về phía cung tròn; khoảng cách trọng tâm phải luôn dương để vật thể tồn tại về mặt vật lý.
