Что считает этот калькулятор
Инструмент вычисляет объём и площадь внешней поверхности тела вращения, которое получается при повороте кругового сегмента (части круга, отсечённой хордой — фигуры, напоминающей лунку или «луковку») вокруг оси, параллельной хорде. Поворот можно задать как полный — на 360 градусов, так и на любой меньший угол; при неполном повороте тело оказывается срезанным двумя плоскими торцами в форме сегмента. Это чисто геометрический инструмент, и он работает одинаково в любой точке мира.
Как пользоваться
Введите радиус дуги R, высоту сегмента h (стрелку дуги — наибольшее расстояние от хорды до дуги), расстояние d от хорды до оси вращения и угол поворота. Выберите единицу длины (мм, см, м или дюйм) и единицу измерения угла (градусы или радианы). Результаты выводятся в кубических и квадратных единицах выбранной длины, а также показывается длина хорды.
Формула
При центральном угле \(\alpha = 2\cdot\arccos\!\left(\tfrac{R-h}{R}\right)\) площадь сегмента равна \(A = \tfrac12 R^2(\alpha - \sin\alpha)\), половина хорды \(a = \sqrt{h(2R-h)}\), а сама хорда \(c = 2a\). По теоремам Паппа — Гульдина объём равен $$V = \theta\cdot R_c\cdot A,$$ где \(R_c\) — расстояние от оси до центра тяжести площади сегмента, а боковая поверхность $$S = \theta\cdot(R_{\text{arc}}\cdot L_{\text{arc}} + R_{\text{chord}}\cdot c).$$ При неполном повороте добавляются два плоских торца площадью \(A\) каждый.
Разбор примера
Пусть \(R = 100\) мм, \(h = 40\) мм, \(d = 50\) мм и \(\theta = 360^\circ\). Тогда \(\alpha = 1{,}8546\) рад, \(A = 4472{,}95\) мм\(^2\), хорда \(c = 160\) мм. Объём получается около \(1{,}86\times10^{6}\) мм\(^3\) (\(\approx 1864\) см\(^3\)), а площадь поверхности — примерно \(1{,}39\times10^{5}\) мм\(^2\).
Частые вопросы
Что такое стрелка дуги (сагитта)? Это высота сегмента \(h\) — расстояние по перпендикуляру от хорды до самой удалённой точки дуги. Должно выполняться условие \(0 < h \le 2R\).
Почему при неполном повороте площадь увеличивается? Разрезая кольцо в двух угловых положениях, мы открываем две плоские грани, каждая из которых равна площади сегмента \(A\), поэтому к боковой поверхности добавляется \(2A\).
Может ли ось проходить через хорду? Да, для этого задайте \(d = 0\). Отрицательное значение \(d\) помещает ось со стороны дуги; чтобы тело было физически корректным, расстояние до центра тяжести должно оставаться положительным.
