ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة حجم ومساحة السطح الخارجي لمجسم دوران ناتج عن إدارة قطعة دائرية (وهي الجزء من الدائرة الذي يفصله الوتر، ويُسمى أحيانًا شكل القوس أو السهم) حول محور موازٍ لوترها. يمكنك إدارة القطعة دورة كاملة بمقدار 360 درجة أو بأي زاوية جزئية، وعند اختيار زاوية جزئية يصبح المجسم مقطوعًا بوجهين مسطّحين على شكل القطعة الدائرية. إنها أداة هندسية ورياضية بحتة وتعمل بالطريقة نفسها في أي مكان في العالم.
طريقة الاستخدام
أدخل نصف قطر القوس R، وارتفاع القطعة h (السهم، وهو أقصى مسافة بين الوتر والقوس)، والمسافة d من الوتر إلى محور الدوران، وزاوية الدوران. اختر وحدة الطول (مم، سم، م أو بوصة) ووحدة الزاوية (درجات أو راديان). تُعرض النتائج بمكعب وبمربّع وحدة الطول المختارة، إضافةً إلى طول الوتر.
المعادلة
عند زاوية مركزية \(\alpha = 2\cdot\arccos((R-h)/R)\)، تكون مساحة القطعة \(A = \tfrac12 R^2(\alpha - \sin\alpha)\)، ونصف الوتر \(a = \sqrt{h(2R-h)}\)، والوتر \(c = 2a\). وفقًا لنظريتي بابوس، يكون الحجم
$$V = \theta\cdot R_c\cdot A$$حيث \(R_c\) هي المسافة من المحور إلى مركز ثقل مساحة القطعة، وتكون المساحة الجانبية
$$S = \theta\cdot(R_{\text{arc}}\cdot L_{\text{arc}} + R_{\text{chord}}\cdot c)$$وعند الدوران الجزئي يُضاف وجهان مسطّحان مساحة كل منهما \(A\).
مثال محلول
لِنفترض \(R = 100\) مم، \(h = 40\) مم، \(d = 50\) مم و\(\theta = 360^\circ\): عندها \(\alpha = 1.8546\) راديان، \(A = 4472.95\) مم\(^2\)، والوتر \(c = 160\) مم. ويكون الحجم نحو \(1.86\times10^{6}\) مم\(^3\) (\(\approx 1864\) سم\(^3\)) ومساحة السطح نحو \(1.39\times10^{5}\) مم\(^2\).
الأسئلة الشائعة
ما هو السهم؟ هو ارتفاع القطعة \(h\)، أي المسافة العمودية من الوتر إلى أعلى نقطة في القوس. ويجب أن يحقق الشرط \(0 < h \le 2R\).
لماذا يضيف الدوران الجزئي مساحة؟ لأن قطع الحلقة عند موضعين زاويين يكشف وجهين مسطّحين، مساحة كل منهما تساوي مساحة القطعة \(A\)، فتُضاف \(2A\) إلى المساحة الجانبية.
هل يمكن أن يمرّ المحور عبر الوتر؟ نعم، اجعل \(d = 0\). وعند جعل \(d\) سالبًا يقع المحور على جهة القوس؛ على أن تبقى مسافة مركز الثقل موجبة كي يكون المجسم فيزيائيًا قابلًا للتحقق.
