ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة الخصائص الهندسية لـالمخروط الدائري القائم — وهو المخروط الذي يقع رأسه عموديًا فوق مركز قاعدته الدائرية تمامًا. انطلاقًا من نصف قطر القاعدة (\(r\)) والارتفاع العمودي (\(h\)) فقط، تعطيك الحجم والمساحة الجانبية (سطح الجانب) والمساحة الكلية للسطح والارتفاع المائل. تُستخدم وحدة طول واحدة من اختيارك لكل الأطوال، وتتوافق النتائج معها: الطول بالوحدة نفسها، والمساحات بمربع الوحدة، والحجم بمكعبها.
طريقة الاستخدام
أدخل نصف قطر القاعدة والارتفاع، ثم اختر وحدة الطول (م، سم، مم، كم، إنش، قدم)، واضغط على حساب. يجب أن تكون قيمتا \(r\) و \(h\) موجبتين؛ فالقيمة الصفرية أو السالبة تنتج شكلًا منحلًّا لا يُعدّ مخروطًا حقيقيًا، ولذلك تُرفض. تنطبق الوحدة المختارة على كلا المُدخلين، ويظهر الحجم بمكعب تلك الوحدة والمساحات بمربعها.
شرح القوانين
الارتفاع المائل هو المسافة المستقيمة من الرأس إلى حافة القاعدة، ويُحسب بنظرية فيثاغورس:
$$\ell = \sqrt{\text{r}^{2} + \text{h}^{2}}$$أما الحجم فهو ثلث مساحة القاعدة مضروبة في الارتفاع:
$$V = \frac{1}{3}\pi\, \text{r}^{2}\, \text{h}$$وتساوي المساحة الجانبية (السطح المنحني عند فرده على هيئة قطاع دائري) \(\pi r \ell\). وبإضافة مساحة دائرة القاعدة \(\pi r^{2}\) نحصل على المساحة الكلية:
$$S = \pi r(\ell + r)$$
مثال محلول
عند \(r = 3\) و \(h = 4\): الارتفاع المائل
$$\ell = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$الحجم
$$V = \frac{1}{3}\pi(9)(4) = 12\pi \approx 37.699$$المساحة الجانبية
$$\pi(3)(5) = 15\pi \approx 47.124$$مساحة القاعدة
$$9\pi \approx 28.274$$المساحة الكلية للسطح
$$15\pi + 9\pi = 24\pi \approx 75.398$$الأسئلة الشائعة
هل تصلح هذه الحاسبة للمخروط المائل؟ لا. تفترض هذه القوانين مخروطًا دائريًا قائمًا يقع رأسه فوق مركز القاعدة. أما المخروط المائل فيشترك في قانون الحجم نفسه لكن مساحة سطحه مختلفة وأكثر تعقيدًا.
ما الفرق بين الارتفاع والارتفاع المائل؟ الارتفاع (\(h\)) هو المسافة العمودية من القاعدة إلى الرأس، أما الارتفاع المائل (\(\ell\)) فيُقاس على امتداد الجانب المائل ويكون دائمًا أكبر من كل من \(r\) و \(h\).
لماذا يجب أن يكون نصف القطر والارتفاع موجبين؟ إذا كان نصف القطر أو الارتفاع صفرًا، انهار المخروط إلى خط أو قرص بحجم يساوي صفرًا، فلم يَعُد مخروطًا ثلاثي الأبعاد صحيحًا.
