ما هي حاسبة التباديل nPr؟
يُحسب التبديل (Permutation) عدد الترتيبات المتمايزة التي يمكن تكوينها عند اختيار r عنصرًا من مجموعة مكوّنة من n عنصرًا متمايزًا. وهنا يكون الترتيب مهمًّا: فاختيار A ثم B يختلف عن اختيار B ثم A. تتيح لك هذه الحاسبة إيجاد قيمة nPr — التي تُكتب على هيئة nP r أو P(n, r) — لأي عددين صحيحين غير سالبين n وr.
طريقة الاستخدام
أدخل قيمة n وهي العدد الإجمالي للعناصر المتمايزة المتاحة، ثم قيمة r وهي عدد العناصر التي تختارها وترتّبها. ستعرض لك الحاسبة عدد جميع الترتيبات المرتبة الممكنة. ويجب أن تكون القيمتان عددين صحيحين غير سالبين؛ إذ تُقرَّب الأعداد العشرية إلى الأسفل وتُرفض القيم السالبة.
شرح القانون
القانون المعتاد هو:
$$P(\text{n}, \text{r}) = \frac{\text{n}!}{\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$
ولتفادي حساب مضروبات (factorials) ضخمة، تستخدم هذه الأداة الصيغة المكافئة المعروفة بالمضروب المتناقص: أي ضرب r من الأعداد الصحيحة المتتالية النازلة بدءًا من n، وهي \(\text{n} \times (\text{n}-1) \times \cdots \times (\text{n}-\text{r}+1)\). وهذا يحافظ على دقة أعلى مع المدخلات المتوسطة. أما عند القيم الكبيرة جدًّا لـ n فقد يتجاوز العدد الصحيح الدقيق النطاق الآمن لأعداد الفاصلة العائمة، ومن ثَمّ قد تفقد النتائج الضخمة للغاية دقّتها الصحيحة الكاملة.
مثال محلول
لنفترض أن لديك 10 عناصر متمايزة وتريد اختيار 3 منها وترتيبها. عندئذٍ يكون
$$P(10, 3) = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$$
أي توجد 720 طريقة مختلفة لترتيب هذه العناصر.
الأسئلة الشائعة
ما قيمة nPr عندما تكون r = 0؟ تساوي 1 — إذ توجد طريقة واحدة فقط لترتيب "لا شيء" (الترتيب الفارغ)، وهذا متّسق مع كون \(0! = 1\).
ماذا لو كانت r أكبر من n؟ تكون النتيجة 0، إذ لا يمكنك اختيار عدد من العناصر المتمايزة أكبر من العدد المتاح.
ما الفرق بين nPr وnCr (التوافيق)؟ تحسب التباديل الترتيبات المرتبة، بينما تحسب التوافيق الاختيارات غير المرتبة. وتربط بينهما العلاقة \(\text{nPr} = \text{nCr} \times \text{r}!\).
