Что считает калькулятор размещений nPr?
Размещение — это число различных упорядоченных выборок, которые можно составить, выбрав r элементов из множества n различных элементов. Порядок важен: выбор «сначала A, потом B» отличается от «сначала B, потом A». Этот калькулятор вычисляет nPr (записывается как nP r или P(n, r)) для любых неотрицательных целых чисел n и r.
Как пользоваться
Введите n — общее число доступных различных элементов, и r — сколько элементов вы выбираете и упорядочиваете. Калькулятор покажет количество всех возможных упорядоченных выборок. Оба значения должны быть неотрицательными целыми числами: дробные округляются вниз, а отрицательные не принимаются.
Разбор формулы
Стандартная формула выглядит так:
$$P(\text{n}, \text{r}) = \frac{\text{n}!}{\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$
Чтобы не вычислять огромные факториалы, калькулятор использует эквивалентную форму убывающего произведения: перемножает r последовательных убывающих чисел, начиная с n, то есть \(\text{n} \times (\text{n}-1) \times \ldots \times (\text{n}-\text{r}+1)\). Это даёт более высокую точность при умеренных значениях. Для очень больших n точный результат может выйти за безопасный диапазон чисел с плавающей точкой, поэтому крайне большие значения могут потерять точное целочисленное представление.
Пример с решением
Допустим, у вас есть 10 различных элементов и вы хотите выбрать и упорядочить 3 из них. Тогда $$\text{nPr} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720.$$ Существует 720 различных упорядоченных размещений.
Частые вопросы
Чему равно nPr при r = 0? Единице — существует ровно один способ ничего не размещать (пустая выборка), что согласуется с равенством \(0! = 1\).
Что если r больше n? Результат равен 0. Нельзя выбрать больше различных элементов, чем их есть в наличии.
Чем nPr отличается от nCr (сочетаний)? Размещения учитывают порядок, а сочетания — нет. Они связаны соотношением \(\text{nPr} = \text{nCr} \times \text{r}!\).
