Перевод комплексного числа из полярной формы в декартову

Введите расчет

r (модуль)

θ (angle)

Единица измерения угла Radians Degrees

Результатов

Декартовы координаты: x + yi

1 + 1.732050808i

z = x + y·i

Действительная часть (x)	1
Мнимая часть (y)	1,7320508076

Что делает этот калькулятор

Этот инструмент переводит комплексное число, записанное в полярной (тригонометрической) форме — модуль r и угол θ (аргумент) — в алгебраическую (декартову) форму \(x + yi\). Полярную форму часто записывают как \(r\cdot e^{\theta i}\) или \(r\angle\theta\), и во многих задачах инженерии, физики и цифровой обработки сигналов нужно вернуться к привычной записи \(x + yi\).

Как пользоваться

Введите модуль r и угол θ. Выберите, в чём задан угол θ — в радианах (значение по умолчанию) или в градусах. Внутри калькулятор переводит градусы в радианы, умножая на \(\pi/180\), затем вычисляет действительную и мнимую части и собирает итоговую запись \(x + yi\).

Разбор формулы

Точка на комплексной плоскости, находящаяся на расстоянии r от начала координат под углом θ к положительной действительной оси, имеет координаты:

$$x = r\cdot\cos\theta \quad \text{и} \quad y = r\cdot\sin\theta$$

Тогда комплексное число равно \(z = x + y\cdot i\). Обратные соотношения (приведены для справки) выглядят так: \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) и \(\theta = \operatorname{arctg}(y / x)\), однако этот инструмент выполняет только прямой переход: полярная → декартова форма.

Реклама

Polar form (r, theta) maps to Cartesian coordinates x and y on the complex plane.

Пример с решением

Пусть \(r = 2\) и \(\theta = \pi/3\) в радианах. Тогда $$x = 2\cdot\cos(\pi/3) = 2\cdot 0{,}5 = 1,$$ а $$y = 2\cdot\sin(\pi/3) = 2\cdot 0{,}8660254 = 1{,}7320508.$$ Результат: 1 + 1,7320508076 i.

Теперь в градусах: \(r = 5\), \(\theta = 30^\circ\). Переводим: \(30\cdot\pi/180 = 0{,}5235988\) рад. Тогда \(x = 5\cdot\cos = 4{,}330127019\) и \(y = 5\cdot\sin = 2{,}5\), что даёт 4,330127019 + 2,5 i.

The conversion uses the right triangle: x = r·cos θ and y = r·sin θ.

Частые вопросы

Что будет, если r = 0? Результат равен 0 (начало координат) при любом угле, поскольку и x, и y обращаются в ноль.

Может ли r быть отрицательным? Да. Отрицательное значение r допустимо и просто отражает точку через начало координат, что равносильно добавлению \(\pi\) к углу.

Зачем выбирать радианы или градусы? Тригонометрические функции работают с радианами. Если выбрать «Градусы», угол сначала умножается на \(\pi/180\), чтобы ответ получился верным.