Что делает этот конвертер
Этот инструмент переводит комплексное число, записанное в алгебраической (её также называют декартовой или прямоугольной) форме \(x + yi\), в показательную форму \(r\cdot e^{\theta i}\). Показательная форма описывает то же самое число через его расстояние до начала координат (модуль \(r\)) и угол, который оно образует с положительной полуосью действительных чисел (аргумент \(\theta\)). В показательной форме умножать, делить, возводить в степень и извлекать корни из комплексных чисел гораздо удобнее, чем в алгебраической.
Как пользоваться
Введите комплексное число, например 3+4i, -2-5i, 4 (чисто действительное), 2i или -i (чисто мнимое). Пробелы допускаются, а одиночное i или -i воспринимается как ±1. Калькулятор выделяет действительную часть \(x\) и мнимую часть \(y\), после чего возвращает модуль \(r\), аргумент \(\theta\) в радианах и полное выражение в показательной форме.
Разбор формулы
Для комплексного числа \(x + yi\) модуль вычисляется как $$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$ — это прямое расстояние от начала координат до точки \((x, y)\). Аргумент равен $$\theta = \operatorname{atan2}(y,\,x).$$ Мы намеренно используем двухаргументную функцию \(\operatorname{atan2}\) вместо \(\arctan(y/x)\): \(\operatorname{atan2}\) возвращает угол в правильной четверти и корректно обрабатывает случай \(x = 0\), давая главное значение в диапазоне \((-\pi, \pi]\). По соглашению в начале координат \((0, 0)\) принимают \(\theta = 0\).
Пример с решением
Возьмём 3+4i, то есть \(x = 3\) и \(y = 4\). Тогда $$r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$$ Аргумент равен $$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 0{,}927295218 \text{ радиана}$$ (примерно \(53{,}13°\)). Следовательно, показательная форма — это \(5\cdot e^{0{,}927295218\,i}\).
Частые вопросы
Угол даётся в градусах или радианах? Аргумент \(\theta\) выводится в радианах. Чтобы перевести в градусы, умножьте его на \(180/\pi\).
А если действительная часть отрицательная? Благодаря \(\operatorname{atan2}\) числа с отрицательной действительной частью корректно попадают во вторую или третью четверть. Например, для \(-2-5i\) получаем \(r = \sqrt{29} \approx 5{,}385164807\) и \(\theta = \operatorname{atan2}(-5, -2) \approx -1{,}951302704\) радиана.
Что происходит в нуле? Для \(0 + 0i\) модуль равен \(0\), а аргумент по соглашению принимают равным \(0\), так что показательная форма имеет вид \(0\cdot e^{0i}\).
