Что делает этот калькулятор
Этот инструмент делит одно комплексное число на другое. Вы вводите числитель a + bi и знаменатель c + di, а калькулятор выдаёт частное в виде единого комплексного числа в форме a + bi, разбитого на действительную и мнимую части.
Как пользоваться
Введите действительную и мнимую части числителя (a и b) и знаменателя (c и d). Калькулятор умножает числитель и знаменатель на число, сопряжённое со знаменателем, благодаря чему знаменатель становится действительным, и сразу же показывает результат.
Разбор формулы
Чтобы разделить комплексные числа, мы умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое со знаменателем число c − di:
$$\frac{\text{a} + \text{b}\,i}{\text{c} + \text{d}\,i} = \frac{(\text{a} + \text{b}\,i)(\text{c} - \text{d}\,i)}{(\text{c} + \text{d}\,i)(\text{c} - \text{d}\,i)} = \frac{\text{a}\,\text{c} + \text{b}\,\text{d}}{\text{c}^{2} + \text{d}^{2}} + \frac{\text{b}\,\text{c} - \text{a}\,\text{d}}{\text{c}^{2} + \text{d}^{2}}\,i$$
Знаменатель превращается в \(\text{c}^{2} + \text{d}^{2}\) — действительное число, поэтому действительная и мнимая части аккуратно разделяются.
Пример с решением
Разделим \((1 + 2i)\) на \((3 + 4i)\). Здесь \(a=1\), \(b=2\), \(c=3\), \(d=4\). Знаменатель равен $$c^{2}+d^{2} = 9+16 = 25.$$ Действительная часть $$= \frac{ac+bd}{25} = \frac{3+8}{25} = \frac{11}{25} = 0{,}44.$$ Мнимая часть $$= \frac{bc-ad}{25} = \frac{6-4}{25} = \frac{2}{25} = 0{,}08.$$ Итак, ответ — \(0{,}44 + 0{,}08i\).
Частые вопросы
Что такое число, сопряжённое с c + di? Это \(c - di\) — та же действительная часть, но с противоположным знаком у мнимой части. Умножение на него делает знаменатель действительным.
Что, если знаменатель равен нулю? Деление на \(0 + 0i\) не определено; в этом случае калькулятор возвращает нулевые части, поэтому убедитесь, что \(c\) и \(d\) не равны нулю одновременно.
Может ли результат быть чисто действительным или чисто мнимым числом? Да. Если \(bc - ad = 0\), результат чисто действительный, а если \(ac + bd = 0\) — чисто мнимый.
