Ce que fait cette calculatrice
Cet outil divise un nombre complexe par un autre. À partir d'un numérateur a + bi et d'un dénominateur c + di, il renvoie le quotient sous la forme d'un seul nombre complexe écrit en a + bi, décomposé en sa partie réelle et sa partie imaginaire.
Comment l'utiliser
Saisissez la partie réelle et la partie imaginaire du numérateur (a et b) ainsi que celles du dénominateur (c et d). La calculatrice multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, ce qui élimine la partie imaginaire au dénominateur, puis affiche le résultat instantanément.
La formule expliquée
Pour diviser deux nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, c − di :
$$\frac{a + b\,i}{c + d\,i} = \frac{(a + b\,i)(c - d\,i)}{(c + d\,i)(c - d\,i)} = \frac{a\,c + b\,d}{c^{2} + d^{2}} + \frac{b\,c - a\,d}{c^{2} + d^{2}}\,i$$Le dénominateur devient \(c^{2} + d^{2}\), un nombre réel, ce qui permet de séparer proprement la partie réelle et la partie imaginaire.
Exemple concret
Divisons \((1 + 2i)\) par \((3 + 4i)\). Ici, \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 3\) et \(d = 4\). Le dénominateur vaut \(c^{2} + d^{2} = 9 + 16 = 25\). Partie réelle = \(\frac{a\,c + b\,d}{25} = \frac{3 + 8}{25} = \frac{11}{25} = 0{,}44\). Partie imaginaire = \(\frac{b\,c - a\,d}{25} = \frac{6 - 4}{25} = \frac{2}{25} = 0{,}08\). Le résultat est donc \(0{,}44 + 0{,}08i\).
Questions fréquentes
Quel est le conjugué de c + di ? C'est \(c - di\) : on conserve la même partie réelle et on inverse le signe de la partie imaginaire. Le multiplier par le dénominateur rend ce dernier réel.
Que se passe-t-il si le dénominateur est nul ? La division par \(0 + 0i\) n'est pas définie ; dans ce cas, la calculatrice renvoie des parties nulles, alors veillez à ce que \(c\) et \(d\) ne soient pas tous les deux égaux à zéro.
Le résultat peut-il être un nombre purement réel ou purement imaginaire ? Oui. Si \(b\,c - a\,d = 0\), le résultat est purement réel ; si \(a\,c + b\,d = 0\), il est purement imaginaire.
