Qu'est-ce que le calculateur d'angle double ?
Le calculateur d'angle double évalue les trois identités trigonométriques fondamentales de l'angle double — \(\sin(2x)\), \(\cos(2x)\) et \(\tan(2x)\) — pour n'importe quel angle saisi. Ces identités expriment les fonctions trigonométriques d'un angle doublé (\(2x\)) à partir de l'angle initial (\(x\)). On les retrouve sans cesse en analyse, en physique, en traitement du signal et dans les sujets d'examen.
Comment l'utiliser
Saisissez votre angle x, puis indiquez si la valeur est exprimée en degrés ou en radians. Le calculateur convertit l'angle en radians en interne, le double, puis renvoie le sinus, le cosinus et la tangente de \(2x\). Lorsque \(\cos(2x)\) vaut zéro (par exemple lorsque \(x = 45\degree\)), \(\tan(2x)\) n'est pas définie : elle est signalée comme telle, car le dénominateur s'annule.
Les formules expliquées
En partant des formules d'addition d'angles, avec deux angles égaux à \(x\) :
$$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$$ — déduite de \(\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\).
$$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$$ — déduite de \(\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\). Formes équivalentes : \(1 - 2\sin^2 x\) et \(2\cos^2 x - 1\).
$$\tan(2x) = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$$ — déduite de la formule d'addition de la tangente.
Exemple résolu
Prenons \(x = 30\degree\). Alors \(2x = 60\degree\). Ainsi $$\sin(60\degree) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866025,\quad \cos(60\degree) = 0{,}5,\quad \tan(60\degree) = \sqrt{3} \approx 1{,}732051.$$ En appliquant les identités : $$2 \sin 30\degree \cos 30\degree = 2(0{,}5)(0{,}866025) = 0{,}866025 \checkmark,$$ et $$\cos^2 30\degree - \sin^2 30\degree = 0{,}75 - 0{,}25 = 0{,}5 \checkmark.$$
FAQ
Pourquoi \(\tan(2x)\) n'est-elle parfois pas définie ? Lorsque \(\cos(2x) = 0\) (par exemple \(x = 45\degree\), donc \(2x = 90\degree\)), la division par zéro rend la tangente indéfinie.
Puis-je saisir des angles négatifs ? Oui. Les angles négatifs comme les grands angles fonctionnent parfaitement ; les résultats suivent la périodicité trigonométrique habituelle.
Degrés ou radians ? Choisissez l'unité utilisée dans votre problème. L'équivalent de \(2x\) est également affiché en degrés à titre de repère.
