¿Qué es la calculadora del ángulo doble?
La calculadora del ángulo doble evalúa las tres identidades trigonométricas fundamentales del ángulo doble — \(\sin(2x)\), \(\cos(2x)\) y \(\tan(2x)\) — para cualquier ángulo que introduzcas. Estas identidades expresan las funciones trigonométricas de un ángulo duplicado (\(2x\)) en función del ángulo original (\(x\)), y aparecen una y otra vez en cálculo, física, tratamiento de señales y en los ejercicios de examen.
Cómo usarla
Introduce tu ángulo x y elige si el valor está en grados o en radianes. La calculadora lo convierte internamente a radianes, duplica el ángulo y devuelve el seno, el coseno y la tangente de \(2x\). Si \(\cos(2x)\) vale cero (por ejemplo, en \(x = 45°\)), \(\tan(2x)\) no está definida y así se indica, porque el denominador se anula.
Las fórmulas explicadas
Partiendo de las identidades de la suma de ángulos cuando ambos ángulos son iguales a \(x\):
• $$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$$ — se deduce de \(\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\).
• $$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$$ — se deduce de \(\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\). Otras formas equivalentes son \(1 - 2\sin^2 x\) y \(2\cos^2 x - 1\).
• $$\tan(2x) = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$$ — se deduce de la fórmula de la tangente de la suma.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(x = 30°\). Entonces \(2x = 60°\). Así, \(\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866025\), \(\cos(60°) = 0{,}5\) y \(\tan(60°) = \sqrt{3} \approx 1{,}732051\). Aplicando las identidades: $$2 \sin 30° \cos 30° = 2(0{,}5)(0{,}866025) = 0{,}866025 \ \checkmark$$ y $$\cos^2 30° - \sin^2 30° = 0{,}75 - 0{,}25 = 0{,}5 \ \checkmark$$
Preguntas frecuentes
¿Por qué a veces \(\tan(2x)\) no está definida? Cuando \(\cos(2x) = 0\) (por ejemplo, \(x = 45°\), \(2x = 90°\)), la división entre cero hace que la tangente no esté definida.
¿Puedo introducir ángulos negativos? Sí. Los ángulos negativos y los muy grandes funcionan sin problema; los resultados respetan la periodicidad habitual de las funciones trigonométricas.
¿Grados o radianes? Elige la unidad que use tu problema. El valor equivalente de \(2x\) también se muestra en grados como referencia.
