¿Qué son las identidades del ángulo doble?
Las identidades del ángulo doble son fórmulas trigonométricas que expresan el seno, el coseno y la tangente del doble de un ángulo (2θ) en función de las razones trigonométricas del ángulo original θ. Son herramientas básicas en trigonometría, cálculo y física: resultan muy útiles para simplificar expresiones, resolver ecuaciones e integrar funciones. Esta calculadora evalúa las tres identidades para cualquier ángulo que introduzcas, ya sea en grados o en radianes.
Cómo usar esta calculadora
Escribe tu ángulo θ en la casilla, indica si está medido en grados o radianes y la calculadora te devuelve al instante sin(2θ), cos(2θ) y tan(2θ). Como la identidad de la tangente lleva el término \((1 - \tan^{2}\theta)\) en el denominador, el valor de tan(2θ) queda indefinido en ángulos como 45° (donde \(\tan^{2}\theta = 1\)) y en 90°, donde la propia tangente se dispara hacia el infinito.
Las fórmulas explicadas
Las tres identidades fundamentales son:
$$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$ — se obtiene a partir de la fórmula de la suma de ángulos sin(a+b) tomando a = b = θ.
$$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta$$ — una de las tres formas equivalentes (también es igual a \(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta\) y a \(2\cos^{2}\theta - 1\)).
$$\tan 2\theta = \dfrac{2\tan\theta}{1 - \tan^{2}\theta}$$ — resulta de dividir la identidad del seno entre la del coseno.
Ejemplo resuelto
Tomemos θ = 30°. Entonces \(\sin\theta = 0{,}5\) y \(\cos\theta = 0{,}8660\). Por tanto, $$\sin 2\theta = 2 \times 0{,}5 \times 0{,}8660 = 0{,}8660,$$ que coincide con sin(60°). De la misma manera, $$\cos 2\theta = 1 - 2(0{,}5)^{2} = 1 - 0{,}5 = 0{,}5 = \cos 60°,$$ y $$\tan 2\theta = \frac{2(0{,}5774)}{1 - 0{,}3333} = \frac{1{,}1547}{0{,}6667} = 1{,}7321 = \tan 60°.$$
Preguntas frecuentes
¿Por qué a veces tan(2θ) queda indefinida? Cuando \(1 - \tan^{2}\theta = 0\) (en θ = 45°, 135°, …) el denominador vale cero, así que tan(2θ) presenta una asíntota vertical y no tiene ningún valor finito.
¿Puedo usar ángulos negativos? Sí. Las identidades se cumplen para todos los ángulos reales, sean positivos o negativos.
¿Qué forma del coseno utiliza? Usa \(\cos 2\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta\), pero las tres formas dan exactamente el mismo resultado numérico.
