İki Kat Açı Özdeşlikleri Nedir?
İki kat açı özdeşlikleri; bir açının iki katının (2θ) sinüs, kosinüs ve tanjant değerlerini, asıl açı θ'nın trigonometrik fonksiyonları cinsinden ifade eden formüllerdir. Trigonometride, türev–integral (analiz) konularında ve fizikte temel araçlardandır; ifadeleri sadeleştirmede, denklem çözmede ve integral almada büyük kolaylık sağlar. Bu hesaplayıcı, derece veya radyan olarak gireceğiniz herhangi bir açı için üç özdeşliği de hesaplar.
Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır?
θ açınızı giriş kutusuna yazın, derece mi yoksa radyan cinsinden mi olduğunu seçin; hesaplayıcı anında \(\sin(2\theta)\), \(\cos(2\theta)\) ve \(\tan(2\theta)\) sonuçlarını verir. Tanjant özdeşliğinin paydasında \((1 - \tan^{2}\theta)\) terimi bulunduğu için, \(\tan(2\theta)\) sonucu 45° (\(\tan^{2}\theta = 1\) olduğunda) gibi açılarda ve tanjantın sonsuza gittiği 90°'de tanımsızdır.
Formüllerin Açıklaması
Üç temel özdeşlik şunlardır:
$$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$$ — a = b = θ alınarak sin(a+b) toplam formülünden elde edilir.
$$\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^{2}\theta$$ — birbirine denk üç biçimden biridir (ayrıca \(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta\) ve \(2\cos^{2}\theta - 1\) değerlerine de eşittir).
$$\tan(2\theta) = \dfrac{2\tan\theta}{1 - \tan^{2}\theta}$$ — sinüs özdeşliğinin kosinüs özdeşliğine bölünmesiyle bulunur.
Çözümlü Örnek
θ = 30° olsun. Bu durumda \(\sin\theta = 0{,}5\) ve \(\cos\theta = 0{,}8660\) olur. Buradan $$\sin(2\theta) = 2 \times 0{,}5 \times 0{,}8660 = 0{,}8660$$ elde edilir; bu da \(\sin(60°)\) ile aynıdır. Benzer şekilde $$\cos(2\theta) = 1 - 2(0{,}5)^{2} = 1 - 0{,}5 = 0{,}5 = \cos(60°)$$ ve $$\tan(2\theta) = \dfrac{2(0{,}5774)}{1 - 0{,}3333} = \dfrac{1{,}1547}{0{,}6667} = 1{,}7321 = \tan(60°)$$ bulunur.
Sıkça Sorulan Sorular
tan(2θ) neden bazen tanımsız oluyor? \(1 - \tan^{2}\theta = 0\) olduğunda (θ = 45°, 135° … gibi değerlerde) payda sıfır olur; bu yüzden \(\tan(2\theta)\) dikey bir asimptota sahiptir ve sonlu bir değeri yoktur.
Negatif açı kullanabilir miyim? Evet. Özdeşlikler, pozitif ya da negatif tüm gerçek açılar için geçerlidir.
Hangi kosinüs biçimi kullanılıyor? \(\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^{2}\theta\) biçimi kullanılır; ancak üç biçim de aynı sayısal sonucu verir.
