द्विकोण सर्वसमिकाएँ क्या हैं?
द्विकोण सर्वसमिकाएँ (Double Angle Identities) ऐसे त्रिकोणमितीय सूत्र हैं जो किसी कोण के दोगुने (2θ) के sine, cosine और tangent को मूल कोण θ के त्रिकोणमितीय फलनों के रूप में व्यक्त करते हैं। ये त्रिकोणमिति, कलन (calculus) और भौतिकी में बेहद उपयोगी होती हैं — व्यंजकों को सरल बनाने, समीकरण हल करने और समाकलन (integration) में इनका खूब इस्तेमाल होता है। यह कैलकुलेटर आपके द्वारा डाले गए किसी भी कोण के लिए तीनों सर्वसमिकाओं का मान निकाल देता है, चाहे वह डिग्री में हो या रेडियन में।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
इनपुट बॉक्स में अपना कोण θ डालें, चुनें कि वह डिग्री में है या रेडियन में, और कैलकुलेटर तुरंत \(\sin(2\theta)\), \(\cos(2\theta)\) तथा \(\tan(2\theta)\) के मान दिखा देगा। चूँकि tangent वाले सूत्र के हर (denominator) में \((1 - \tan^{2}\theta)\) पद होता है, इसलिए 45° जैसे कोणों पर (जहाँ \(\tan^{2}\theta = 1\)) और 90° पर (जहाँ tangent स्वयं अनंत हो जाता है) \(\tan(2\theta)\) का मान अपरिभाषित (undefined) रहता है।
सूत्रों की व्याख्या
तीन मुख्य सर्वसमिकाएँ इस प्रकार हैं:
$$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$ — यह कोण-योग सूत्र \(\sin(a+b)\) से \(a = b = \theta\) रखने पर प्राप्त होता है।
$$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta$$ — यह तीन समतुल्य रूपों में से एक है (यह \(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta\) और \(2\cos^{2}\theta - 1\) के भी बराबर है)।
$$\tan 2\theta = \dfrac{2\tan\theta}{1 - \tan^{2}\theta}$$ — यह sine वाली सर्वसमिका को cosine वाली सर्वसमिका से भाग देने पर मिलता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए θ = 30°। तब \(\sin\theta = 0.5\) और \(\cos\theta = 0.8660\) होगा। अतः $$\sin(2\theta) = 2 \times 0.5 \times 0.8660 = 0.8660,$$ जो \(\sin(60°)\) के बराबर है। इसी प्रकार $$\cos(2\theta) = 1 - 2(0.5)^{2} = 1 - 0.5 = 0.5 = \cos(60°),$$ और $$\tan(2\theta) = \frac{2(0.5774)}{1 - 0.3333} = \frac{1.1547}{0.6667} = 1.7321 = \tan(60°).$$
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(\tan(2\theta)\) कभी-कभी अपरिभाषित क्यों हो जाता है? जब \(1 - \tan^{2}\theta = 0\) हो जाता है (θ = 45°, 135°, … पर) तो हर शून्य हो जाता है, इसलिए \(\tan(2\theta)\) पर एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी (vertical asymptote) बनती है और कोई परिमित मान नहीं होता।
क्या मैं ऋणात्मक कोण डाल सकता हूँ? हाँ। ये सर्वसमिकाएँ सभी वास्तविक कोणों के लिए, चाहे धनात्मक हों या ऋणात्मक, मान्य हैं।
यह cosine का कौन-सा रूप इस्तेमाल करता है? यह \(\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^{2}\theta\) का उपयोग करता है, पर तीनों रूप एक ही संख्यात्मक परिणाम देते हैं।
