배각 공식이란?
배각 공식(Double Angle Identities)은 어떤 각의 2배(2θ)에 대한 사인, 코사인, 탄젠트 값을 원래 각 θ의 삼각함수로 나타내는 공식입니다. 삼각함수, 미적분, 물리학에서 빠지지 않고 등장하는 기본 도구로, 식을 간단히 정리하거나 방정식을 풀고 함수를 적분할 때 특히 유용합니다. 이 계산기는 도(degree) 단위든 라디안 단위든 입력한 각에 대해 세 가지 배각 공식을 한 번에 계산해 줍니다.
계산기 사용 방법
입력란에 각 θ를 입력하고 단위가 도(degree)인지 라디안인지 선택하기만 하면, \(\sin 2\theta\), \(\cos 2\theta\), \(\tan 2\theta\) 값이 즉시 나타납니다. \(\tan 2\theta\) 공식은 분모에 \((1 - \tan^{2}\theta)\) 항이 들어 있기 때문에, \(\tan^{2}\theta = 1\)이 되는 45° 같은 각이나 탄젠트 자체가 발산하는 90°에서는 값이 정의되지 않습니다.
공식 풀이
핵심이 되는 세 가지 공식은 다음과 같습니다.
$$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$ — 덧셈 정리 \(\sin(a+b)\)에 \(a = b = \theta\)를 대입해 얻습니다.
$$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta$$ — 서로 같은 세 가지 형태 중 하나입니다(\(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta\), \(2\cos^{2}\theta - 1\)로도 표현됩니다).
$$\tan 2\theta = \dfrac{2\tan\theta}{1 - \tan^{2}\theta}$$ — 사인 공식을 코사인 공식으로 나누어 얻습니다.
예제로 확인하기
\(\theta = 30°\)라고 해 봅시다. 이때 \(\sin\theta = 0.5\), \(\cos\theta = 0.8660\)입니다. 따라서 $$\sin 2\theta = 2 \times 0.5 \times 0.8660 = 0.8660$$이며, 이는 \(\sin(60°)\)와 정확히 일치합니다. 마찬가지로 $$\cos 2\theta = 1 - 2(0.5)^{2} = 1 - 0.5 = 0.5 = \cos(60°)$$이고, $$\tan 2\theta = \frac{2(0.5774)}{1 - 0.3333} = \frac{1.1547}{0.6667} = 1.7321 = \tan(60°)$$이 됩니다.
자주 묻는 질문
왜 \(\tan 2\theta\) 값이 정의되지 않을 때가 있나요? \(1 - \tan^{2}\theta = 0\)이 되는 경우(\(\theta = 45°, 135°, \ldots\))에는 분모가 0이 되므로, \(\tan 2\theta\)는 수직 점근선을 가지며 유한한 값을 갖지 못합니다.
음수 각도 입력해도 되나요? 네. 이 공식들은 양수든 음수든 모든 실수 각에 대해 성립합니다.
코사인은 어떤 형태를 사용하나요? 이 계산기는 \(\cos 2\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta\)를 사용하지만, 세 가지 형태 모두 수치적으로 동일한 결과를 줍니다.
