ما هي متطابقات ضعف الزاوية؟
متطابقات ضعف الزاوية هي صيغ مثلثية تُعبّر عن جيب وجيب تمام وظل ضعف الزاوية (٢θ) بدلالة الدوال المثلثية للزاوية الأصلية θ. وهي من الأدوات الأساسية في حساب المثلثات والتفاضل والتكامل والفيزياء، إذ تساعد على تبسيط المقادير وحل المعادلات وإجراء التكامل. تحسب هذه الأداة المتطابقات الثلاث كلها لأي زاوية تُدخلها، سواء بالدرجات أو الراديان.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل قيمة الزاوية θ في خانة الإدخال، واختر وحدة القياس (درجات أو راديان)، فتُظهر لك الحاسبة فوراً قيم جا(٢θ) وجتا(٢θ) وظا(٢θ). ولأن متطابقة الظل تحتوي على الحد \((1 - \tan^{2}\theta)\) في مقامها، فإن قيمة ظا(٢θ) تكون غير معرّفة عند زوايا مثل ٤٥° (حيث \(\tan^{2}\theta = 1\)) وعند ٩٠° حيث ينعدم تعريف الظل نفسه.
شرح الصيغ
المتطابقات الأساسية الثلاث هي:
$$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$ — مشتقة من صيغة جمع الزوايا جا(أ+ب) عند وضع أ = ب = θ.
$$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta$$ — وهي إحدى ثلاث صيغ متكافئة (تساوي أيضاً \(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta\)، و\(2\cos^{2}\theta - 1\)).
$$\tan 2\theta = \dfrac{2\tan\theta}{1 - \tan^{2}\theta}$$ — نحصل عليها بقسمة متطابقة الجيب على متطابقة جيب التمام.
مثال محلول
لتكن θ = ٣٠°. عندها \(\sin\theta = 0.5\) و\(\cos\theta = 0.8660\). إذاً $$\sin 2\theta = 2 \times 0.5 \times 0.8660 = 0.8660$$ وهي تساوي جا(٦٠°). وبالمثل $$\cos 2\theta = 1 - 2(0.5)^{2} = 1 - 0.5 = 0.5 = \cos(60°)$$ وظا(٢θ) $$\tan 2\theta = \dfrac{2(0.5774)}{1 - 0.3333} = \dfrac{1.1547}{0.6667} = 1.7321 = \tan(60°)$$
الأسئلة الشائعة
لماذا تكون ظا(٢θ) غير معرّفة أحياناً؟ عندما يكون \(1 - \tan^{2}\theta = 0\) (عند θ = ٤٥° و١٣٥° …) يصبح المقام صفراً، فتظهر لـ ظا(٢θ) خطوط تقارب رأسية ولا تكون لها قيمة منتهية.
هل يمكنني استخدام زوايا سالبة؟ نعم. تنطبق هذه المتطابقات على جميع الزوايا الحقيقية، موجبةً كانت أم سالبة.
أي صيغة لجيب التمام تستخدمها الحاسبة؟ تستخدم الصيغة \(\cos 2\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta\)، لكن الصيغ الثلاث جميعها تعطي النتائج العددية نفسها.
