Что такое формулы двойного угла?
Формулы двойного угла — это тригонометрические соотношения, которые выражают синус, косинус и тангенс удвоенного угла (2θ) через тригонометрические функции исходного угла θ. Это базовый инструмент в тригонометрии, математическом анализе и физике: они помогают упрощать выражения, решать уравнения и вычислять интегралы. Наш калькулятор рассчитывает все три формулы для любого введённого угла — как в градусах, так и в радианах.
Как пользоваться калькулятором
Введите угол \(\theta\) в поле ввода, выберите единицу измерения (градусы или радианы) — и калькулятор сразу покажет \(\sin(2\theta)\), \(\cos(2\theta)\) и \(\operatorname{tg}(2\theta)\). Поскольку в знаменателе формулы тангенса стоит выражение \((1 - \operatorname{tg}^{2}\theta)\), значение \(\operatorname{tg}(2\theta)\) не определено при углах вроде 45° (где \(\operatorname{tg}^{2}\theta = 1\)) и при 90°, где сам тангенс обращается в бесконечность.
Разбор формул
Вот три основные формулы:
$$\sin(2\theta) = 2\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta$$ — получается из формулы синуса суммы \(\sin(a+b)\) при \(a = b = \theta\).
$$\cos(2\theta) = 1 - 2\cdot\sin^{2}\theta$$ — одна из трёх равносильных форм (она же равна \(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta\) и \(2\cos^{2}\theta - 1\)).
$$\operatorname{tg}(2\theta) = \dfrac{2\cdot\operatorname{tg}\theta}{1 - \operatorname{tg}^{2}\theta}$$ — выводится делением формулы синуса на формулу косинуса.
Пример с решением
Пусть \(\theta = 30°\). Тогда \(\sin\theta = 0{,}5\) и \(\cos\theta = 0{,}8660\). Значит, $$\sin(2\theta) = 2 \times 0{,}5 \times 0{,}8660 = 0{,}8660,$$ что совпадает с \(\sin(60°)\). Аналогично $$\cos(2\theta) = 1 - 2\cdot(0{,}5)^{2} = 1 - 0{,}5 = 0{,}5 = \cos(60°),$$ а $$\operatorname{tg}(2\theta) = \frac{2\cdot(0{,}5774)}{1 - 0{,}3333} = \frac{1{,}1547}{0{,}6667} = 1{,}7321 = \operatorname{tg}(60°).$$
Частые вопросы
Почему \(\operatorname{tg}(2\theta)\) иногда не определён? Когда \(1 - \operatorname{tg}^{2}\theta = 0\) (при \(\theta = 45°, 135°, \ldots\)), знаменатель обращается в ноль, поэтому у \(\operatorname{tg}(2\theta)\) возникает вертикальная асимптота и конечного значения нет.
Можно ли использовать отрицательные углы? Да. Формулы справедливы для любых действительных углов — как положительных, так и отрицательных.
Какая форма косинуса здесь используется? Применяется \(\cos(2\theta) = 1 - 2\cdot\sin^{2}\theta\), но все три формы дают одинаковый численный результат.
