Что такое калькулятор формул двойного угла?
Этот инструмент рассчитывает тригонометрические формулы двойного угла для любого угла θ. Введите угол в градусах или радианах — и калькулятор сразу выдаст значения \(\sin(2\theta)\), \(\cos(2\theta)\) и \(\tan(2\theta)\). Эти формулы выражают функцию удвоенного угла через функции одинарного угла, что незаменимо при упрощении выражений, решении тригонометрических уравнений и интегрировании.
Как пользоваться
Введите угол θ, укажите, в чём он задан — в градусах или радианах, — и сразу получите три результата. Градусы внутри переводятся в радианы (умножением на \(\pi/180\)), и только после этого применяются тригонометрические функции.
Разбор формул
Формула синуса: $$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$$ Формула косинуса: $$\cos(2\theta) = \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta$$ (что равносильно \(2\cos^{2}\theta - 1\) или \(1 - 2\sin^{2}\theta\)). Формула тангенса: $$\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}$$ Тангенс не определён там, где \(\cos(2\theta) = 0\) (например, при \(\theta = 45°\), где \(1 - \tan^{2}\theta = 0\)), поэтому в таких случаях калькулятор показывает «не определено».
Пример расчёта
Для \(\theta = 30°\): \(\sin\theta = 0{,}5\), \(\cos\theta = 0{,}8660\). Тогда $$\sin(2\theta) = 2 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}8660 = 0{,}8660,$$ что совпадает с \(\sin(60°)\). $$\cos(2\theta) = 0{,}8660^{2} - 0{,}5^{2} = 0{,}75 - 0{,}25 = 0{,}5 = \cos(60°).$$ $$\tan(2\theta) = \sin(60°)/\cos(60°) \approx 1{,}7320.$$
Частые вопросы
Почему \(\tan(2\theta)\) показывает «не определено»? Потому что тангенс не определён, когда его аргумент равен \(90°\) (\(\pi/2\)) плюс кратные \(180°\). При \(\theta = 45°\) получаем \(2\theta = 90°\) и \(\cos(2\theta) = 0\), то есть знаменатель обращается в ноль.
Можно ли использовать радианы? Да, выберите вариант «Радианы» — в этом случае никакого перевода не выполняется.
Повторяются ли результаты? Да, тригонометрические функции периодичны, поэтому углы, отличающиеся на целое число полных оборотов, дают одинаковые значения.
