Интегрирование на полубесконечном интервале по формуле двойного экспоненциального (DE) преобразования

Введите расчет

f(x)

a (нижний предел)

Число значащих цифр 6 8 10 12 15

Результатов

Интеграл на [a, ∞)

вычислено методом двойного экспоненциального (DE) преобразования

Метод	DE-замена на полупрямой: x = a + exp((pi/2) sinh t)
Итоговый шаг h
Сходимость достигнута	No (check convergence / decay)

Сумма трапеций не сошлась к заданной точности. Возможно, подынтегральная функция не убывает (интеграл расходится), является осциллирующей или периодической, либо требует другой DE-замены. Для таких входных данных результат недостоверен.

Что делает этот калькулятор

Этот инструмент численно вычисляет определённый интеграл на полубесконечном интервале, \(I = \int_{a}^{\infty} f(x)\,dx\), используя вариант двойного экспоненциального (DE) преобразования, специально разработанный для полупрямой. DE-метод — это универсальная схема высокой точности, которая особенно хороша для подынтегральных функций, убывающих на бесконечности по степенному закону (степенное затухание вида \(1/x^{p}\)) и допускающих слабую особенность в нижнем пределе \(x = a\). Метод не предназначен для периодических или осциллирующих функций.

Калькулятор вычисляет площадь под f(x) от x = a до бесконечности.

Как пользоваться

Введите подынтегральную функцию f(x) как математическое выражение от переменной x (поддерживаются + - * / ^, скобки, а также sqrt, exp, log, log10, sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, abs и константы pi и e). Задайте конечный нижний предел a, выберите число значащих цифр для отображения и нажмите «Вычислить». В результате вы получите численное значение интеграла.

Разбор формулы

Полупрямая отображается на всю числовую ось с помощью замены переменной \(\phi(t) = \exp\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\), так что \(x = a + \phi(t)\) пробегает значения от \(a\) (при \(t \to -\infty\)) до \(+\infty\). Её производная равна \(\phi^{\prime}(t) = \tfrac{\pi}{2}\cosh(t)\cdot\exp\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\). Преобразованная функция \(g(t) = f(a + \phi(t))\cdot\phi^{\prime}(t)\) убывает двойным экспоненциальным образом на обоих концах, поэтому обычная формула трапеций на равномерной сетке оказывается практически оптимальной:

$$I \approx h\cdot\sum_{k=-N}^{N} g(kh).$$

Узлы, приводящие к переполнению (большие \(t\)), пропускаются, так как там подынтегральная функция фактически равна нулю.

Преобразование DE отображает t со всей вещественной прямой на x из [a, бесконечность), эффективно сгущая узлы.

Разобранный пример

Для \(f(x) = 1/(1 + x^{3/2})\) при \(a = 0\) точное значение равно \(4\pi/(3\sqrt{3}) \approx 2.4183991523\). DE-сумма с шагом \(h = 1/16\) воспроизводит его с точностью до многих знаков. При \(t = 0\): \(\phi = 1\), \(x = 1\), \(f = 0.5\), \(\phi^{\prime} = \pi/2 \approx 1.5708\), так что \(g \approx 0.7854\); суммирование всех взвешенных узлов сходится к \(2.41840\).

Частые вопросы

Можно ли применять метод к функциям с экспоненциальным убыванием? Да, он по-прежнему работает, но для чисто экспоненциального затухания быстрее сходится другая DE-замена; данный вариант ориентирован на степенное убывание.

Почему метод не работает с осциллирующими функциями? Сумма трапеций для незатухающих колебаний не сходится, поэтому DE-квадратура для полупрямой здесь неприменима.

На что влияет настройка числа цифр? Только на округление при выводе результата; внутренние вычисления всегда выполняются с полной двойной точностью (double).