Двойная экспонента (DE): численный интеграл по всей прямой (−∞, ∞)

Введите расчет

f(x) Используйте x, операторы + - * / ^ и функции exp, log, ln, sin, cos, tan, sqrt, abs, atan. Функция должна затухать на бесконечности (непериодическая).

Значащие цифры / точность

Результатов

Integral over (-∞, ∞)

approximate value of ∫ f(x) dx

Метод	Квадратура двойной экспоненты (семейство tanh-sinh)
Замена переменной	x = sinh((π/2) sinh t)
Запрошено цифр
Сошлось	No (may diverge or need more levels)

DE-сумма не достигла заданной точности. Возможно, подынтегральная функция не затухает на бесконечности (расходящийся интеграл), является периодической/колебательной либо требует более низкой точности. DE-квадратура рассчитана на непериодическую, аналитическую вблизи концов функцию с алгебраическим затуханием.

Что делает этот калькулятор

Инструмент численно вычисляет определённый интеграл функции f(x) по всей вещественной оси — от минус бесконечности до плюс бесконечности — с помощью квадратуры двойной экспоненты (DE), которую также называют семейством tanh-sinh или методом Такахаси — Мори. DE-квадратура — одна из самых эффективных универсальных схем для гладких подынтегральных функций, и сходится она поразительно быстро: число верных цифр растёт почти линейно с количеством узлов.

Как пользоваться

Введите математическое выражение для f(x), используя переменную x, операторы + - * / ^, скобки и стандартные функции — exp, log/ln, sin, cos, tan, sqrt, abs и atan. Затем выберите нужное число значащих цифр (от 6 до 50). Чем выше точность, тем мельче шаг и шире диапазон усечения. Подынтегральная функция должна быть аналитической на всей прямой и обязательно затухать при росте x; она не должна быть периодической и не должна колебаться без затухания.

Как устроена формула

Метод DE использует замену переменной \(x = \sinh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\), производная которой равна \(\varphi'(t) = \tfrac{\pi}{2}\cosh t\,\cosh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\). После подстановки интеграл превращается в интеграл от \(f(\varphi(t))\,\varphi'(t)\) по t. Поскольку \(\varphi'(t)\) при росте \(|t|\) убывает как двойная экспонента, обычная формула трапеций с равномерным шагом \(h\),

$$I \approx h \cdot \sum f(\varphi(kh))\,\varphi'(kh),$$

оказывается чрезвычайно точной. Калькулятор начинает с грубого шага, затем многократно делит \(h\) пополам (повторно используя уже вычисленные узлы), пока две соседние оценки не совпадут с заданной точностью.

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx \;\approx\; h\sum_{k=-N}^{N} f\!\left(x_k\right)\, w_k$$

$$\begin{gathered} \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_k &= \sinh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(kh)\right) \\ w_k &= \tfrac{\pi}{2}\cosh(kh)\,\cosh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(kh)\right) \\ h,N &= \text{chosen for } \text{digits} \text{ precision} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

Вес \(\varphi'(t)\) убывает дважды экспоненциально, поэтому удалённые члены почти не вносят вклада.

DE-преобразование отображает равномерную сетку по t на вещественную прямую, сгущая точки около центра.

Разбор примера

Для \(f(x) = \dfrac{1}{1+x^2}\) точное значение интеграла равно \([\arctan x]\) от минус до плюс бесконечности \(= \pi \approx 3.14159265358979\). Грубая DE-сумма с шагом \(0.5\) по узлам \(k = -8..8\) уже даёт около \(3.15\); при измельчении шага результат сходится к \(\pi\) со всей точностью. Аналогично \(\exp(-x^2)\) возвращает \(\sqrt{\pi} \approx 1.77245385090552\).

Частые вопросы

Почему появляется сообщение «не сошлось»? Чаще всего это значит, что интеграл расходится (функция не затухает, например \(f = 1\)) либо является периодической/колебательной. DE-квадратура предполагает непериодическую, аналитическую вблизи концов подынтегральную функцию.

Какую точность выбрать? 15 цифр соответствуют двойной точности (double) и являются хорошим значением по умолчанию. Запрашивать заметно больше цифр, чем способна обеспечить двойная точность, бессмысленно — ответ от этого не улучшится.

Можно ли интегрировать функции с особенностями? Метод спокойно переносит поведение на концах, так как крайние узлы получают вес, близкий к нулю. Но полюсы внутри области, лежащие на вещественной оси, его «сломают».