Что такое интегральный косинус Ci(x)?
Интегральный косинус, обозначаемый \(\operatorname{Ci}(x)\), — это специальная функция, которая встречается в физике, обработке сигналов и электродинамике, особенно в теории антенн и при анализе осциллирующих интегралов. Для положительного вещественного аргумента \(x\) она определяется как интеграл от \((\cos t - 1)/t\) в пределах от 0 до \(x\), к которому прибавляются натуральный логарифм \(x\) и постоянная Эйлера–Маскерони гамма (примерно 0,5772156649). Данный калькулятор вычисляет \(\operatorname{Ci}(x)\) с полной двойной точностью для любого вещественного значения.
Как пользоваться калькулятором
Введите значение \(x\) в поле ввода и нажмите кнопку расчёта. Результатом будет безразмерное значение \(\operatorname{Ci}(x)\). Область определения главного вещественного значения — \(x\) больше 0. При \(x = 0\) функция уходит в минус бесконечность (логарифмическая особенность), поэтому калькулятор отмечает это значение как неопределённое. Для отрицательных аргументов калькулятор возвращает \(\operatorname{Ci}(|x|)\), так как вещественная часть \(\operatorname{Ci}(-x)\) равна \(\operatorname{Ci}(x)\); мнимая составляющая \(\pm i\pi\) при этом отбрасывается.
Разбор формулы
Базовое соотношение выглядит так:
$$\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln|x| + \int_{0}^{x} \frac{\cos t - 1}{t}\, dt$$Если разложить подынтегральное выражение в ряд Тейлора и проинтегрировать почленно, получится сходящийся ряд
$$\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln|x| - \frac{x^2}{2\cdot 2!} + \frac{x^4}{4\cdot 4!} - \frac{x^6}{6\cdot 6!} + \dots$$Для малых и умеренных \(x\) (здесь — при \(|x|\) до 6) этот ряд сходится быстро и точно. При больших \(x\) калькулятор переключается на асимптотическое представление \(\operatorname{Ci}(x) = f(x)\cdot\sin(x) - g(x)\cdot\cos(x)\), которое позволяет избежать катастрофической потери точности, возникающей в ряду при больших аргументах. С ростом \(x\) значение \(\operatorname{Ci}(x)\) затухает к нулю, осциллируя примерно как \(\sin(x)/x\).
Пример расчёта
Для \(x = 1\): \(\ln(1) = 0\), а ряд даёт
$$-0{,}25 + 0{,}0104166667 - 0{,}0002314815 + 0{,}0000031002 - \dots \approx -0{,}2398117421$$Прибавив гамму \(= 0{,}5772156649\), получаем \(\operatorname{Ci}(1) = 0{,}3374039229\), что совпадает с известным справочным значением интегрального косинуса в точке 1.
Часто задаваемые вопросы
Почему Ci(0) не определено? Поскольку \(\ln(x)\) стремится к минус бесконечности при \(x \to 0\), функция имеет в этой точке логарифмическую особенность.
Как быть с отрицательными x? При отрицательных аргументах Ci становится комплексной. Этот вещественный калькулятор возвращает \(\operatorname{Ci}(|x|)\) — вещественную часть, отбрасывая мнимое слагаемое.
Насколько точны результаты? Точность близка к машинной двойной (около 15 значащих цифр) во всём типичном диапазоне входных значений.
