Tích phân cosin Ci(x) là gì?
Tích phân cosin, ký hiệu Ci(x), là một hàm đặc biệt xuất hiện rộng rãi trong vật lý, xử lý tín hiệu và điện từ học, đặc biệt là trong lý thuyết ăng-ten và việc phân tích các tích phân dao động. Với đối số thực dương x, hàm này được định nghĩa là tích phân của (cos t − 1)/t từ 0 đến x, cộng với logarit tự nhiên của x và hằng số Euler–Mascheroni gamma (xấp xỉ 0,5772156649). Máy tính này tính Ci(x) với độ chính xác kép đầy đủ cho mọi giá trị thực bạn nhập vào.
Cách sử dụng máy tính
Hãy nhập giá trị x vào ô nhập liệu rồi bấm tính. Kết quả là giá trị không thứ nguyên của Ci(x). Miền xác định của định nghĩa chính (giá trị thực) là x lớn hơn 0. Tại x = 0, hàm phân kỳ về âm vô cực (điểm kỳ dị logarit), nên máy tính sẽ báo là không xác định. Với giá trị âm, máy tính trả về Ci(|x|), vì phần thực của Ci(−x) bằng Ci(x); thành phần ảo cộng hoặc trừ i·pi được bỏ qua.
Giải thích công thức
Hệ thức định nghĩa là $$\operatorname{Ci}\!\left(x\right) = \gamma + \ln\!\left|x\right| + \int_{0}^{x} \frac{\cos t - 1}{t}\, dt$$ Khai triển hàm dưới dấu tích phân thành chuỗi Taylor rồi tích phân từng số hạng ta thu được chuỗi hội tụ $$\operatorname{Ci}\!\left(x\right) = \gamma + \ln\!\left|x\right| + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}\,\left|x\right|^{2k}}{2k\,(2k)!}$$ tức là \(\gamma + \ln(x) - \frac{x^2}{2\cdot 2!} + \frac{x^4}{4\cdot 4!} - \frac{x^6}{6\cdot 6!} + \ldots\). Với x nhỏ đến trung bình (ở đây là \(\left|x\right|\) đến 6), chuỗi này hội tụ nhanh và chính xác. Với x lớn hơn, máy tính chuyển sang biểu diễn tiệm cận \(\operatorname{Ci}(x) = f(x)\cdot\sin(x) - g(x)\cdot\cos(x)\), giúp tránh hiện tượng triệt tiêu nghiêm trọng vốn làm hỏng độ chính xác của chuỗi với đối số lớn. Khi x tăng, Ci(x) suy giảm dần về 0 đồng thời dao động giống như \(\sin(x)/x\).
Ví dụ minh họa
Với x = 1: \(\ln(1) = 0\), và chuỗi cho ra $$-0{,}25 + 0{,}0104166667 - 0{,}0002314815 + 0{,}0000031002 - \ldots \approx -0{,}2398117421$$ Cộng thêm \(\gamma = 0{,}5772156649\) ta được \(\operatorname{Ci}(1) = 0{,}3374039229\), đúng bằng giá trị tham chiếu đã biết của tích phân cosin tại 1.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao Ci(0) không xác định? Vì \(\ln(x)\) tiến về âm vô cực khi x tiến về 0, nên hàm có một điểm kỳ dị logarit tại đó.
Còn x âm thì sao? Ci là số phức khi đối số âm. Máy tính cho giá trị thực này trả về Ci(|x|), tức phần thực, và bỏ đi phần ảo.
Kết quả chính xác đến mức nào? Kết quả chính xác xấp xỉ độ chính xác kép của máy (khoảng 15 chữ số có nghĩa) trên toàn dải đầu vào thông thường.
