Công cụ này làm gì
Công cụ này tạo ra một bảng độ chính xác cao của tích phân sin Si(x) và tích phân cos Ci(x) trên một dãy đối số. Bạn chọn giá trị bắt đầu, bước nhảy (số gia) và số điểm cần tính, rồi công cụ sẽ liệt kê Si(x) và Ci(x) cho từng dòng. Đây là những hàm đặc biệt chuẩn mực trong toán học thuần túy — chúng cho kết quả như nhau ở mọi nơi và không phụ thuộc vào bất kỳ quy tắc vùng miền nào. Đối số x là một số thực không thứ nguyên, được hiểu theo đơn vị radian bởi hàm sin và cos bên trong các tích phân.
Giải thích các công thức
Tích phân sin được định nghĩa là \(\operatorname{Si}(x) = \int_0^x \frac{\sin t}{t}\, dt\). Vì \(\sin(t)/t\) có điểm kỳ dị có thể khử được tại \(t = 0\) (giới hạn tại đó bằng 1), nên \(\operatorname{Si}(0) = 0\), và Si là một hàm nguyên lẻ: \(\operatorname{Si}(-x) = -\operatorname{Si}(x)\), với \(\operatorname{Si}(\infty) = \pi/2\). Tích phân cos là \(\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln(x) + \int_0^x \frac{\cos t - 1}{t}\, dt\), trong đó \(\gamma \approx 0{,}5772156649\) là hằng số Euler–Mascheroni. Ci(x) chỉ là số thực khi \(x > 0\); với \(x \le 0\) thì hàm này không xác định (hiển thị bằng dấu gạch ngang). Cả hai hàm đều được tính bằng chuỗi lũy thừa hội tụ của chúng, cộng dồn cho đến khi các số hạng tiếp theo nhỏ hơn độ chính xác của máy.
$$\operatorname{Si}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\, x^{2n+1}}{(2n+1)\,(2n+1)!}, \qquad \operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln x + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n\, x^{2n}}{(2n)\,(2n)!}$$
Cách sử dụng
Nhập giá trị x ban đầu, số gia và số lần lặp. Các dòng trong bảng có dạng \(x_i = \text{đầu} + i \cdot \text{bước}\) với \(i = 0, 1, \ldots, \text{số điểm}-1\). Ví dụ, bắt đầu 0, bước 0,2, số điểm 51 sẽ trải x từ 0 đến 10.
Ví dụ minh họa
Với đầu = 0, bước = 0,2, số điểm = 6, các đối số sẽ là 0, 0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 1,0. Khai triển chuỗi cho ra $$\operatorname{Si}(1{,}0) = 1 - \tfrac{1}{18} + \tfrac{1}{600} - \ldots \approx 0{,}9460831$$ và $$\operatorname{Ci}(1{,}0) = \gamma + 0 + (-0{,}25 + 0{,}0104167 - \ldots) \approx 0{,}3374039.$$ Dòng đầu tiên cho thấy \(\operatorname{Si}(0) = 0\), trong khi Ci(0) không xác định (dấu gạch ngang) vì Ci phân kỳ về \(-\infty\) khi \(x \to 0^+\).
Câu hỏi thường gặp
Tại sao Ci để trống khi x = 0 hoặc x âm? Ci(x) chứa \(\ln(x)\), vốn không phải số thực khi \(x \le 0\), và \(\operatorname{Ci}(x) \to -\infty\) khi \(x \to 0^+\), nên chúng tôi đánh dấu những dòng đó là không xác định.
Si có xác định với x âm không? Có — Si xác định với mọi x thực và là hàm lẻ, nên \(\operatorname{Si}(-x) = -\operatorname{Si}(x)\).
Giá trị giới hạn của Si là bao nhiêu? Khi \(x \to \infty\), \(\operatorname{Si}(x) \to \pi/2 \approx 1{,}5707963\).
