이 계산기의 기능
이 도구는 일련의 인수 값에 대해 사인 적분 \(\operatorname{Si}(x)\)와 코사인 적분 \(\operatorname{Ci}(x)\)를 고정밀로 계산해 표로 만들어 줍니다. 시작값, 증가폭(간격), 계산할 점의 개수를 입력하면 각 행마다 \(\operatorname{Si}(x)\)와 \(\operatorname{Ci}(x)\) 값을 나열합니다. 이 두 함수는 순수 수학에서 다루는 표준 특수함수로, 지역이나 국가에 따른 규칙이 전혀 없으며 어디서나 동일하게 적용됩니다. 인수 \(x\)는 차원이 없는 실수이며, 적분 안의 사인·코사인에서는 라디안 단위로 해석됩니다.
공식 설명
사인 적분은 \(\operatorname{Si}(x)\) = 0부터 \(x\)까지 \(\sin(t)/t\)를 적분한 값으로 정의됩니다. \(\sin(t)/t\)는 \(t = 0\)에서 제거 가능한 특이점을 가지며(이 지점에서의 극한값은 1) 따라서 \(\operatorname{Si}(0) = 0\)이 됩니다. 또한 Si는 홀함수인 정함수(entire function)로서 \(\operatorname{Si}(-x) = -\operatorname{Si}(x)\)를 만족하고, \(\operatorname{Si}(\infty) = \pi/2\) 입니다. 코사인 적분은 \(\operatorname{Ci}(x)\) = \(\gamma\) + \(\ln(x)\) + 0부터 \(x\)까지 \((\cos(t)-1)/t\)를 적분한 값으로 정의되며, 여기서 \(\gamma \approx 0.5772156649\)는 오일러–마스케로니 상수입니다. $$\operatorname{Si}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\, x^{2n+1}}{(2n+1)\,(2n+1)!}, \qquad \operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln x + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n\, x^{2n}}{(2n)\,(2n)!}$$ \(\operatorname{Ci}(x)\)는 \(x > 0\)일 때만 실숫값을 가지며, \(x \le 0\)인 경우에는 정의되지 않은 값으로(대시 표시) 나타냅니다. 두 함수 모두 수렴하는 멱급수로 계산하며, 추가되는 항이 기계 정밀도 이하로 작아질 때까지 합산합니다.
사용 방법
x의 시작값, 증가폭, 반복 횟수(점의 개수)를 입력하세요. 표의 각 행은 \(i = 0, 1, \dots, \text{count}-1\)에 대해 $$x_i = \text{시작값} + i \cdot \text{간격}$$ 으로 계산됩니다. 예를 들어 시작값 0, 간격 0.2, 개수 51로 설정하면 \(x\)가 0부터 10까지의 범위를 포함합니다.
계산 예시
시작값 = 0, 간격 = 0.2, 개수 = 6으로 두면 인수는 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0이 됩니다. 멱급수로 계산하면 $$\operatorname{Si}(1.0) = 1 - \tfrac{1}{18} + \tfrac{1}{600} - \dots \approx 0.9460831$$ 이고, $$\operatorname{Ci}(1.0) = \gamma + 0 + (-0.25 + 0.0104167 - \dots) \approx 0.3374039$$ 입니다. 첫 번째 행은 \(\operatorname{Si}(0) = 0\)을 보여 주지만, \(\operatorname{Ci}(0)\)은 \(x \rarr 0^{+}\)일 때 \(-\infty\)로 발산하므로 정의되지 않은 값(대시)으로 표시됩니다.
자주 묻는 질문
x = 0이거나 음수일 때 Ci 값이 비어 있는 이유는 무엇인가요? \(\operatorname{Ci}(x)\)에는 \(\ln(x)\)가 포함되는데, \(x \le 0\)에서는 실숫값을 갖지 않으며 \(x \rarr 0^{+}\)일 때 \(\operatorname{Ci}(x) \rarr -\infty\)로 발산합니다. 그래서 해당 행은 정의되지 않은 값으로 표시합니다.
Si는 음수 x에서도 정의되나요? 네 — Si는 모든 실수 \(x\)에 대해 정의되며 홀함수이므로 \(\operatorname{Si}(-x) = -\operatorname{Si}(x)\)가 성립합니다.
Si의 극한값은 얼마인가요? \(x \rarr \infty\)일 때 \(\operatorname{Si}(x) \rarr \pi/2 \approx 1.5707963\)입니다.
