この計算ツールでできること
このツールは、正弦積分 \(\operatorname{Si}(x)\) と余弦積分 \(\operatorname{Ci}(x)\) を、指定した数列の各点について高精度で計算し、表にまとめます。初期値・刻み幅（増分）・計算する点数を入力すると、各行ごとに \(\operatorname{Si}(x)\) と \(\operatorname{Ci}(x)\) の値が一覧表示されます。これらは純粋数学で定義される標準的な特殊関数であり、国や地域による違いはなく、世界中どこでもまったく同じ値になります。引数 \(x\) は無次元の実数で、積分内部の sin・cos はラジアンとして扱われます。
計算式の解説
正弦積分は \(\operatorname{Si}(x) = \int_0^x \frac{\sin t}{t}\, dt\) の積分として定義されます。\(\frac{\sin t}{t}\) は \(t = 0\) で除去可能な特異点を持ち（極限値は 1）、したがって \(\operatorname{Si}(0) = 0\) となります。Si は奇関数の整関数で、\(\operatorname{Si}(-x) = -\operatorname{Si}(x)\)、\(x \to \infty\) では \(\operatorname{Si}(\infty) = \pi/2\) に収束します。余弦積分は \(\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln(x) + \int_0^x \frac{\cos t - 1}{t}\, dt\) の積分で表され、ここで \(\gamma \approx 0.5772156649\) はオイラー・マスケローニ定数です。\(\operatorname{Ci}(x)\) が実数になるのは \(x > 0\) のときだけで、\(x \le 0\) では未定義（ダッシュ「—」表示）となります。級数は次のとおりです。
$$\operatorname{Si}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\, x^{2n+1}}{(2n+1)\,(2n+1)!}, \qquad \operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln x + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n\, x^{2n}}{(2n)\,(2n)!}$$いずれも収束する冪級数を用い、追加項が計算機の精度を下回るまで和をとって評価します。
使い方
x の初期値、増分（刻み幅）、繰り返し回数（点数） を入力します。表の各行は次のとおりです。
$$x_i = \text{Start } x + i \cdot \text{Step}, \quad i = 0, 1, \dots, \text{Points}-1$$例えば、初期値 0、刻み幅 0.2、点数 51 とすると、\(x\) は 0 から 10 までをカバーします。
計算例
初期値 = 0、刻み幅 = 0.2、点数 = 6 の場合、引数は 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0 になります。級数によると
$$\operatorname{Si}(1.0) = 1 - \frac{1}{18} + \frac{1}{600} - \dots \approx 0.9460831$$$$\operatorname{Ci}(1.0) = \gamma + 0 + (-0.25 + 0.0104167 - \dots) \approx 0.3374039$$です。最初の行では \(\operatorname{Si}(0) = 0\) ですが、Ci は \(x \to 0^+\) で \(-\infty\) に発散するため、\(\operatorname{Ci}(0)\) は未定義（ダッシュ）と表示されます。
よくある質問
なぜ x = 0 や負の x では Ci が空欄になるのですか？ \(\operatorname{Ci}(x)\) には \(\ln(x)\) が含まれており、\(x \le 0\) では実数になりません。さらに \(x \to 0^+\) で \(\operatorname{Ci}(x) \to -\infty\) となるため、これらの行は未定義として扱います。
Si は負の x でも定義されますか？ はい。Si はすべての実数 \(x\) で定義される奇関数で、\(\operatorname{Si}(-x) = -\operatorname{Si}(x)\) が成り立ちます。
Si の極限値は何ですか？ \(x \to \infty\) のとき、\(\operatorname{Si}(x) \to \pi/2 \approx 1.5707963\) に近づきます。
