Что делает этот калькулятор
Инструмент строит точную таблицу значений интегрального синуса \(\operatorname{Si}(x)\) и интегрального косинуса \(\operatorname{Ci}(x)\) для целой последовательности аргументов. Вы задаёте начальное значение, шаг (приращение) и число точек, а калькулятор выводит \(\operatorname{Si}(x)\) и \(\operatorname{Ci}(x)\) для каждой строки. Это классические специальные функции чистой математики — они одинаковы во всём мире и не зависят от каких-либо региональных правил. Аргумент \(x\) — безразмерное вещественное число, которое синус и косинус под интегралом воспринимают в радианах.
Разбор формул
Интегральный синус определяется так: \(\operatorname{Si}(x)\) — это интеграл от \(0\) до \(x\) от \(\sin(t)/t\,dt\). Поскольку у функции \(\sin(t)/t\) в точке \(t = 0\) устранимая особенность (её предел там равен \(1\)), получаем \(\operatorname{Si}(0) = 0\); при этом \(\operatorname{Si}\) — нечётная целая функция: \(\operatorname{Si}(-x) = -\operatorname{Si}(x)\), а \(\operatorname{Si}(\infty) = \pi/2\). Интегральный косинус задаётся как \(\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln(x) + {}\)интеграл от \(0\) до \(x\) от \((\cos(t)-1)/t\,dt\), где \(\gamma \approx 0{,}5772156649\) — постоянная Эйлера–Маскерони. $$\operatorname{Si}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\, x^{2n+1}}{(2n+1)\,(2n+1)!}, \qquad \operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln x + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n\, x^{2n}}{(2n)\,(2n)!}$$ Функция \(\operatorname{Ci}(x)\) вещественна только при \(x > 0\); при \(x \le 0\) значение не определено (показывается как прочерк). Обе функции вычисляются по сходящимся степенным рядам — суммирование продолжается до тех пор, пока очередные слагаемые не станут меньше машинной точности.
Как пользоваться
Укажите начальное значение x, приращение и число итераций. Строки таблицы вычисляются по формуле \(x_i = \text{начало} + i \cdot \text{шаг}\) для \(i = 0, 1, \ldots, \text{количество}-1\). Например, начало \(0\), шаг \(0{,}2\) и количество \(51\) дают \(x\) в диапазоне от \(0\) до \(10\).
Разобранный пример
При начале \(= 0\), шаге \(= 0{,}2\) и количестве \(= 6\) аргументы будут такими: \(0,\ 0{,}2,\ 0{,}4,\ 0{,}6,\ 0{,}8,\ 1{,}0\). По рядам получаем $$\operatorname{Si}(1{,}0) = 1 - \tfrac{1}{18} + \tfrac{1}{600} - \ldots \approx 0{,}9460831$$ и $$\operatorname{Ci}(1{,}0) = \gamma + 0 + (-0{,}25 + 0{,}0104167 - \ldots) \approx 0{,}3374039.$$ В первой строке \(\operatorname{Si}(0) = 0\), а значение \(\operatorname{Ci}(0)\) не определено (прочерк), потому что \(\operatorname{Ci}\) уходит в \(-\infty\) при \(x \to 0^{+}\).
Частые вопросы
Почему для \(x = 0\) и отрицательных \(x\) ячейка Ci пустая? В \(\operatorname{Ci}(x)\) входит \(\ln(x)\), который не является вещественным при \(x \le 0\), а сама \(\operatorname{Ci}(x)\) стремится к \(-\infty\) при \(x \to 0^{+}\), поэтому такие строки помечаются как неопределённые.
Определена ли Si для отрицательных \(x\)? Да — \(\operatorname{Si}\) определена для всех вещественных \(x\) и является нечётной, так что \(\operatorname{Si}(-x) = -\operatorname{Si}(x)\).
Чему равен предел Si? При \(x \to \infty\) значение \(\operatorname{Si}(x) \to \pi/2 \approx 1{,}5707963\).
