Что такое косинус-интеграл Френеля?
Косинус-интеграл Френеля \(C(x)\) — это специальная функция, которая определяется как интеграл от 0 до x от cos(πt²/2). Она встречается практически во всей оптике (отвечает за распределение интенсивности при дифракции на крае экрана в ближней зоне), в физике волн и в дорожном строительстве. Там родственная кривая — клотоида, или спираль Эйлера, — служит для проектирования плавных переходных участков автомобильных и железных дорог, кривизна которых нарастает линейно с длиной дуги.
Как пользоваться калькулятором
Введите верхний предел интегрирования x — любое действительное число (положительное, отрицательное или ноль), и калькулятор выдаст \(C(x)\). Результат безразмерный, поскольку само x является чистым числом. С ростом \(|x|\) функция \(C(x)\) колеблется и сходится к +0,5 (при \(x \to +\infty\)) или к −0,5 (при \(x \to -\infty\)).
Формула и соглашение
Калькулятор использует нормированное соглашение, при котором множитель π/2 стоит под знаком косинуса: $$C(x) = \int_{0}^{x} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right) dt$$ Это отличается от ненормированной формы \(\int \cos(t^{2})\). Поскольку точной формулы в элементарных функциях не существует, значение вычисляется составной формулой Симпсона на мелкой сетке, зависящей от x, с числом отрезков \(n = \max(1000, \lceil 200 \cdot |x| \rceil)\). Для очень больших \(|x|\) применяется асимптотическое разложение, чтобы не интегрировать огромное количество осцилляций.
Разбор примера
При x = 1 имеем $$C(1) = \int_{0}^{1} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right) dt$$ Численное интегрирование даёт стандартное значение \(C(1) \approx 0{,}7798934004\). При x = 0,5 получаем \(C(0{,}5) \approx 0{,}4923442275\). При x = 0 результат равен ровно \(C(0) = 0\).
Частые вопросы
Функция \(C(x)\) чётная или нечётная? Она нечётная: \(C(-x) = -C(x)\), поэтому отрицательный аргумент даёт зеркальное отражение \(C(|x|)\) со знаком минус.
Каков предел на бесконечности? \(C(x)\) стремится к +1/2 при росте x в положительную сторону и к −1/2 — в отрицательную.
Насколько точен результат? Схема Симпсона с двойной точностью обеспечивает примерно 10 надёжных значащих цифр для обычных значений; для настоящих 50 знаков потребовалась бы арифметика произвольной точности.
