Qu'est-ce que l'intégrale de Fresnel cosinus ?
L'intégrale de Fresnel cosinus \(C(x)\) est une fonction spéciale définie comme l'intégrale de 0 à x de \(\cos(\pi t^{2}/2)\). On la rencontre partout en optique (la répartition d'intensité de la diffraction en champ proche au bord d'un écran rectiligne), en physique des ondes ainsi qu'en génie civil, où la clothoïde — ou spirale d'Euler — qui lui est associée sert à concevoir des courbes de raccordement progressives pour les routes et les voies ferrées, dont la courbure croît linéairement avec l'abscisse curviligne.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez la borne supérieure d'intégration x sous forme d'un nombre réel quelconque (positif, négatif ou nul) et le calculateur renvoie \(C(x)\). La valeur est sans dimension, car x est lui-même un nombre pur. À mesure que \(|x|\) augmente, \(C(x)\) oscille autour de \(+0{,}5\) et converge vers cette valeur (lorsque x tend vers plus l'infini) ou vers \(-0{,}5\) (lorsque x tend vers moins l'infini).
La formule et la convention
Cet outil adopte la convention normalisée, qui place un facteur pi/2 à l'intérieur du cosinus : $$C(x) = \int_{0}^{x} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right) dt$$ Elle diffère de la forme non normalisée, intégrale de \(\cos(t^{2})\). Comme il n'existe pas de forme close, la valeur est obtenue par la méthode de Simpson composite à l'aide d'une grille fine dépendant de x, comportant \(n = \max(1000,\ \lceil 200\cdot|x|\rceil)\) sous-intervalles ; un développement asymptotique est employé pour les très grandes valeurs de \(|x|\) afin d'éviter d'intégrer un nombre colossal d'oscillations.
Exemple résolu
Pour \(x = 1\), $$C(1) = \int_{0}^{1} \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right) dt$$ L'intégration numérique fournit la valeur de référence : \(C(1) \approx 0{,}7798934004\). Pour \(x = 0{,}5\), on obtient \(C(0{,}5) \approx 0{,}4923442275\). Pour \(x = 0\), \(C(0) = 0\) exactement.
FAQ
C(x) est-elle paire ou impaire ? C'est une fonction impaire : \(C(-x) = -C(x)\), si bien qu'une valeur d'entrée négative renvoie l'image symétrique négative de \(C(|x|)\).
Quelle est sa limite à l'infini ? \(C(x)\) tend vers \(+1/2\) quand x croît vers les positifs et vers \(-1/2\) quand x décroît vers les négatifs.
Quelle est la précision du résultat ? Le schéma de Simpson en double précision offre environ 10 chiffres significatifs fiables pour des valeurs courantes ; un résultat exact à 50 chiffres exigerait une arithmétique à précision arbitraire.
