Qu'est-ce que l'intégrale de Fresnel en sinus ?
L'intégrale de Fresnel en sinus \(S(x)\) et sa compagne en cosinus \(C(x)\) sont des fonctions spéciales que l'on rencontre partout en optique (diffraction de Fresnel), en théorie des antennes et dans la géométrie de la spirale de Cornu (ou spirale d'Euler). Ce calculateur adopte la convention normalisée en pi/2 : \(S(x)\) y est définie comme l'intégrale de 0 à x de \(\sin(\pi t^{2} / 2)\,dt\), et \(C(x)\) comme la même intégrale avec un cosinus. Dans cette convention, les deux fonctions tendent vers \(1/2\) lorsque x croît vers l'infini positif.
$$S(\text{x}) = \int_{0}^{\text{x}} \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)\,dt$$
Comment l'utiliser
Saisissez n'importe quelle valeur réelle de x (positive ou négative) et choisissez le nombre de décimales à afficher. Comme les intégrandes sont paires en t, \(S(x)\) et \(C(x)\) sont des fonctions impaires : \(S(-x) = -S(x)\) et \(C(-x) = -C(x)\). Le calculateur évalue la valeur absolue puis applique automatiquement le signe. En \(x = 0\), les deux intégrales valent exactement 0.
La formule expliquée
Il n'existe pas de forme close élémentaire ; le calcul se fait donc numériquement. Pour des arguments modérés, on utilise le développement en série, qui converge rapidement : $$S(x) = \sum_{n} \frac{(-1)^{n} \left(\frac{\pi}{2}\right)^{2n+1} x^{4n+3}}{(2n+1)!\,(4n+3)}$$ avec une série analogue pour \(C(x)\). Pour les grandes valeurs de \(|x|\), l'intégrande oscille très vite ; on bascule alors sur la méthode de Simpson composite, dont le nombre de sous-intervalles croît proportionnellement à \(x^{2}\) afin de préserver la précision.
Exemple détaillé (x = 1)
En sommant la série : $$0{,}52359878 - 0{,}09228062 + 0{,}00724487 - 0{,}00031216 + 0{,}00000845 + \ldots$$ on obtient \(S(1) \approx 0{,}4382591474\), ce qui correspond à la valeur de référence publiée \(0{,}4382591473903\). La valeur compagne est \(C(1) \approx 0{,}7798934004\).
FAQ
Quelle normalisation est utilisée ? La forme normalisée en pi/2, avec le facteur \(\pi/2\) placé à l'intérieur du sinus et du cosinus ; les limites valent donc \(1/2\) au lieu de faire intervenir \(\sqrt{\pi/8}\).
Que se passe-t-il pour les grandes valeurs de x ? \(S(x)\) et \(C(x)\) oscillent autour de \(1/2\) avec une amplitude décroissante et convergent vers \(1/2\) quand x tend vers l'infini (et vers \(-1/2\) quand x tend vers moins l'infini).
C(x) est-elle aussi calculée ? Oui : la compagne en cosinus \(C(x)\) est affichée comme résultat secondaire, à côté du résultat principal \(S(x)\).
