什麼是菲涅耳正弦積分？
菲涅耳正弦積分 \(S(x)\) 與其對應的餘弦積分 \(C(x)\) 是一組特殊函數，常見於光學（菲涅耳繞射）、天線理論，以及科紐螺線（又稱歐拉螺線）的幾何分析中。本計算器採用 \(\pi/2\) 正規化慣例，將 \(S(x)\) 定義為 \(\sin(\pi t^2 / 2)\) 從 0 到 \(x\) 的積分，而 \(C(x)\) 則是相同積分但改用餘弦函數。在此慣例下，當 \(x\) 趨近正無窮大時，兩個函數都會收斂至 \(1/2\)。
使用方式
輸入任意實數 \(x\)（正值或負值皆可），並選擇要顯示的小數位數。由於被積函數對 \(t\) 為偶函數，因此 \(S(x)\) 與 \(C(x)\) 都是奇函數：\(S(-x) = -S(x)\)、\(C(-x) = -C(x)\)。計算器會先求出數值大小，再自動套上正負號。當 \(x = 0\) 時，兩個積分的值都恰好為 0。
公式說明
此積分沒有初等的封閉解，因此必須以數值方法求值。對於中等大小的引數，計算器採用收斂快速的冪級數：
$$S(x) = \sum (-1)^n \frac{(\pi/2)^{2n+1} x^{4n+3}}{(2n+1)! \, (4n+3)}$$，\(C(x)\) 也有類似的級數。當 \(|x|\) 較大時，被積函數會劇烈振盪，因此改用複合辛普森法（Simpson's rule），並讓子區間數量隨 \(x^2\) 增加，以維持精確度。
實例演算（x = 1）
將級數逐項相加：
$$0.52359878 - 0.09228062 + 0.00724487 - 0.00031216 + 0.00000845 + \ldots$$得到 \(S(1) \approx 0.4382591474\)，與公認的參考值 \(0.4382591473903\) 一致。對應的餘弦積分值為 \(C(1) \approx 0.7798934004\)。
常見問題
採用哪一種正規化方式？採用 \(\pi/2\) 正規化形式，也就是在正弦與餘弦函數內帶有 \(\pi/2\) 因子，因此其極限值為 \(1/2\)，而非含有 \(\sqrt{\pi/8}\) 的形式。
當 x 很大時會如何？\(S(x)\) 與 \(C(x)\) 會在 \(1/2\) 附近振盪，振幅逐漸縮小；當 \(x\) 趨向正無窮大時收斂至 \(1/2\)，趨向負無窮大時則收斂至 \(-1/2\)。
會一併計算 C(x) 嗎？會的，餘弦積分 \(C(x)\) 會以次要結果的形式，與主要結果 \(S(x)\) 一同顯示。
