什么是菲涅尔正弦积分？
菲涅尔正弦积分 \(S(x)\) 及其配套的余弦积分 \(C(x)\) 是一类特殊函数，常见于光学（菲涅尔衍射）、天线理论以及科纽螺线（欧拉螺线）的几何描述中。本计算器采用 \(\pi/2\) 归一化约定：\(S(x)\) 定义为 \(\sin(\pi t^2 / 2)\) 从 0 到 \(x\) 的积分，\(C(x)\) 则把被积函数换成余弦。在该约定下，当 \(x\) 趋向正无穷时，两个函数都会逼近 \(1/2\)。
使用方法
输入任意实数 \(x\)（正负皆可），并选择想要显示的小数位数。由于被积函数关于 \(t\) 是偶函数，所以 \(S(x)\) 与 \(C(x)\) 都是奇函数：\(S(-x) = -S(x)\)，\(C(-x) = -C(x)\)。计算器会先求出数值大小，再自动补上正负号。当 \(x = 0\) 时，两个积分都恰好等于 0。
公式详解
这两个积分没有初等的封闭表达式，因此只能用数值方法求解。本计算器使用的菲涅尔正弦积分定义为：
$$S(x) = \int_{0}^{x} \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)\,dt$$对于中等大小的自变量，我们采用收敛迅速的幂级数：$$S(x) = \sum (-1)^n (\pi/2)^{2n+1} x^{4n+3} / [(2n+1)! \, (4n+3)]$$，\(C(x)\) 也有类似的级数。当 \(|x|\) 较大时，被积函数振荡得很快，此时改用复合辛普森（Simpson）法则，并让子区间数量随 \(x^2\) 增长，以保证计算精度。
实例演算（x = 1）
把级数逐项相加：$$0.52359878 - 0.09228062 + 0.00724487 - 0.00031216 + 0.00000845 + \ldots$$，可得 \(S(1) \approx 0.4382591474\)，与权威参考值 \(0.4382591473903\) 完全吻合。对应的配套值为 \(C(1) \approx 0.7798934004\)。
常见问题
用的是哪种归一化方式？ 采用 \(\pi/2\) 归一化形式，即在正弦和余弦内部带有 \(\pi/2\) 因子，因此极限值是 \(1/2\)，而不是涉及 \(\sqrt{\pi/8}\) 的形式。
x 很大时会怎样？ \(S(x)\) 与 \(C(x)\) 会围绕 \(1/2\) 上下振荡，振幅逐渐减小；当 \(x\) 趋向正无穷时收敛到 \(1/2\)，趋向负无穷时收敛到 \(-1/2\)。
会同时计算 C(x) 吗？ 会。在主要输出 \(S(x)\) 的同时，还会把配套的余弦积分 \(C(x)\) 作为次要结果一并显示。
