Fresnel Sinüs İntegrali S(x) Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

x (integralin üst sınırı)

Ondalık basamak sayısı 6 8 10 12 15

Sonuç

Fresnel Sinüs İntegrali S(x)

0,438259147390355

at x = 1 (pi/2 convention)

Eşlik eden C(x)	0,779893400376823
Tanım	S(x) = sin(pi t^2/2) ifadesinin 0'dan x'e integrali
Simetri	S(-x) = -S(x) (tek fonksiyon)

Fresnel Sinüs İntegrali Nedir?

Fresnel sinüs integrali \(S(x)\) ve onunla birlikte anılan kosinüs integrali \(C(x)\), optikte (Fresnel kırınımı), anten teorisinde ve Cornu (Euler) spiralinin geometrisinde sıkça karşımıza çıkan özel fonksiyonlardır. Bu hesaplayıcı \(\pi/2\) normalizasyonlu gösterimi kullanır; yani \(S(x)\), \(\sin(\pi t^2 / 2)\) ifadesinin 0'dan \(x\)'e integrali; \(C(x)\) ise aynı integralin kosinüslü hâli olarak tanımlanır. Bu gösterimde \(x\) pozitif sonsuza doğru büyüdükçe her iki fonksiyon da \(1/2\) değerine yaklaşır.

Fresnel sinüs integrali \(S(x)\) salınır ve \(x \to \pm\infty\) iken \(\pm 1/2\)'ye yakınsar.

Nasıl Kullanılır?

Herhangi bir reel \(x\) değeri (pozitif ya da negatif) girin ve sonucun kaç ondalık basamakla gösterileceğini seçin. İntegrandlar \(t\)'ye göre çift fonksiyon olduğundan \(S(x)\) ve \(C(x)\) tek fonksiyonlardır: \(S(-x) = -S(x)\) ve \(C(-x) = -C(x)\). Hesaplayıcı önce büyüklüğü hesaplar, ardından işareti otomatik olarak uygular. \(x = 0\) noktasında her iki integral de tam olarak 0'dır.

Formülün Açıklaması

Bu fonksiyonların temel (kapalı) bir biçimi olmadığından değerleri sayısal olarak hesaplarız. Orta büyüklükteki argümanlar için hızla yakınsayan kuvvet serisi kullanılır:

$$S(x) = \sum (-1)^n \frac{(\pi/2)^{2n+1}\, x^{4n+3}}{(2n+1)!\,(4n+3)}$$

ve \(C(x)\) için de benzer bir seri uygulanır. \(|x|\) büyük olduğunda integrand çok hızlı salındığı için, doğruluğu korumak amacıyla alt aralık sayısı \(x\) kareyle orantılı olarak artırılan bileşik Simpson kuralına geçilir.

\(S(x)\), 0'dan \(x\)'e kadar \(\sin(\pi t^2/2)\) altındaki işaretli alandır.

Çözümlü Örnek (x = 1)

Seriyi toplayalım:

$$0.52359878 - 0.09228062 + 0.00724487 - 0.00031216 + 0.00000845 + \ldots$$

işlemi yaklaşık olarak \(S(1) \approx 0.4382591474\) sonucunu verir; bu da yayımlanmış referans değeri olan \(0.4382591473903\) ile örtüşür. Eşlik eden değer ise \(C(1) \approx 0.7798934004\) olur.

Sık Sorulan Sorular

Hangi normalizasyon kullanılıyor? \(\pi/2\) normalizasyonlu biçim; yani \(\pi/2\) çarpanı sinüs ve kosinüsün içindedir. Bu nedenle limit değerleri \(\sqrt{\pi/8}\) içermek yerine \(1/2\)'dir.

Büyük x değerlerinde ne olur? \(S(x)\) ve \(C(x)\), genliği giderek azalan bir biçimde \(1/2\) etrafında salınır ve \(x\) sonsuza giderken \(1/2\)'ye (\(x\) negatif sonsuza giderken ise \(-1/2\)'ye) yakınsar.

C(x) de hesaplanıyor mu? Evet. Kosinüs eşi olan \(C(x)\), birincil sonuç olan \(S(x)\) ile birlikte ikincil bir çıktı olarak gösterilir.