Logaritmik integral li(x) nedir?
li(x) ile gösterilen logaritmik integral fonksiyonu, 1/ln(t) ifadesinin 0'dan x'e kadar integrali olarak tanımlanan bir özel fonksiyondur. Analitik sayılar teorisinin her yerinde karşımıza çıkar; en bilinen rolü ise Asal Sayı Teoremi'nde asal sayma fonksiyonu pi(x)'in baskın terim yaklaşımı olmasıdır: x'ten küçük asal sayıların adedi yaklaşık olarak li(x) kadardır. İntegrand t = 1 noktasında bir kutba sahip olduğundan, x > 1 için integral standart tanım olan Cauchy esas değeri (principal value) biçiminde yorumlanır.
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
x > 0 ve x ≠ 1 koşulunu sağlayan herhangi bir gerçek değer girin. Hesaplayıcı, li(x) değerini tam çift duyarlık (double precision) ile, yani yaklaşık 15 anlamlı basamağa kadar verir. 0 ile 1 arasındaki x değerleri sonlu ve negatif bir sonuç üretir; \(\operatorname{li}(0) = 0\) olup li(1) negatif sonsuza eşittir (tanımsız olarak gösterilir). x ≤ 0 için gerçek değerli li tanımlı değildir.
Formülün açıklaması
Bu araç, Ei üstel integral fonksiyonu olmak üzere \(\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)\) özdeşliğini kullanır. \(u = \ln(x)\) ve Euler-Mascheroni sabiti \(\gamma = 0{,}5772156649\) alındığında, yakınsak şu seriyi değerlendiririz:
$$\operatorname{li}(x) = \gamma + \ln\!\left|u\right| + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{u^{k}}{k \cdot k!}$$Seri, sıfırdan farklı her gerçek u için yakınsar ve her terim, çalışan toplamın yaklaşık 1e-18 katının altına düşene kadar toplanır.
Çözümlü örnek
x = 2 için: \(u = \ln(2) = 0{,}6931472\), \(\ln|u| = -0{,}3665129\) ve seri toplamı yaklaşık 0,8344608 olur. Buna gamma'yı eklediğimizde $$\operatorname{li}(2) = 0{,}5772157 - 0{,}3665129 + 0{,}8344608 = 1{,}04516378$$ elde ederiz; bu da bilinen referans değeri olan 1,0451637801 ile uyumludur.
Sıkça sorulan sorular
li(1) neden sonsuzdur? İntegrand 1/ln(t), t değeri 1'e üstten yaklaşırken ıraksar; bu nedenle li(x), x = 1 noktasında negatif sonsuza gider.
li(x) nerede sıfıra eşittir? Ramanujan-Soldner sabitinde, yani x ≈ 1,4513692349 değerinde.
li(x) ile Li(x) aynı şey mi? Kaydırılmış sürüm olan \(\operatorname{Li}(x) = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2)\), \(\operatorname{Li}(2) = 0\) olacak şekilde bazen tercih edilir; bu hesaplama aracı ise kaydırılmamış li(x) değerini döndürür.
