Logaritmik regresyon nedir?
Logaritmik regresyon, verilerinize \(y = A + B\cdot\ln(x)\) biçiminde bir eğri uydurur. Bir büyüklük önce hızla artıp ardından yavaşlayarak sabitlendiğinde çok işe yarar; yani x'teki eşit çarpımsal adımlar y'de aşağı yukarı eşit toplamsal adımlar üretiyorsa. Her x değerinin doğal logaritmasını alarak problem, dönüştürülmüş değişken \(u = \ln(x)\) cinsinden sıradan bir doğru (en küçük kareler) uyumuna dönüşür.
Bu hesaplayıcı nasıl kullanılır?
Verilerinizi tablo alanına girin: her satıra bir (x, y) çifti gelecek şekilde, aralarını virgül veya boşlukla ayırın. Her x değeri kesinlikle pozitif olmalıdır; çünkü \(\ln(x)\), sıfır veya negatif sayılar için tanımsızdır. Bu tür satırlar ve boş satırlar dikkate alınmaz. Kaç anlamlı basamak gösterileceğini seçin, ardından uydurulan sabit terim A'yı, katsayı B'yi, korelasyon katsayısı r'yi ve ortalamaları okuyun.
Formülün açıklaması
\(u_i = \ln(x_i)\) olsun. Önce u ve y'nin ortalamalarını, ardından kareler toplamlarını hesaplayın: \(S_{xx} = \sum (u-\bar{u})^2\), \(S_{yy} = \sum (y-\bar{y})^2\) ve çapraz çarpım \(S_{xy} = \sum (u-\bar{u})(y-\bar{y})\). Eğim \(B = S_{xy} / S_{xx}\), sabit terim \(A = \bar{y} - B\cdot\bar{u}\) ve korelasyon \(r = S_{xy} / (\sqrt{S_{xx}} \cdot \sqrt{S_{yy}})\) olur. Tüm uyum şu biçimdedir:
$$y = A + B\,\ln(x) \quad\text{fit to}\;\text{Data }(x_i,\,y_i)$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} B &= \frac{\sum (u_i - \bar{u})(y_i - \bar{y})}{\sum (u_i - \bar{u})^2}, \quad u_i = \ln(x_i) \\ A &= \bar{y} - B\,\bar{u} \\ r &= \frac{\sum (u_i - \bar{u})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (u_i - \bar{u})^2 \,\sum (y_i - \bar{y})^2}} \end{aligned} \right.$$Gösterilen "x ortalaması" değerinin aritmetik ortalama değil, geometrik ortalama \(\exp(\bar{u})\) olduğunu unutmayın; çünkü uyum logaritmik uzayda yapılır.
Çözümlü örnek
(1, 2.0), (2, 4.0), (3, 5.0), (4, 5.5), (5, 6.0) noktaları için: \(\text{meanLnX} = 0.957498\), \(\text{meanY} = 4.5\), \(S_{xx} = 1.615493\), \(S_{yy} = 10.0\), \(S_{xy} = 4.003192\). Buradan \(B = 2.4780\), \(A = 2.1273\) ve \(r = 0.9963\) (güçlü korelasyon) çıkar. Uydurulan çizgi $$y = 2.1273 + 2.4780\cdot\ln(x),$$ geometrik x ortalaması ise \(x = \exp(0.957498) = 2.6051\)'dir.
Sıkça sorulan sorular
"x ortalaması" neden x değerlerimin aritmetik ortalaması değil? Regresyon \(\ln(x)\) üzerinden hesaplandığı için, bu modeldeki x verisinin doğal merkezi geometrik ortalamadır; yani exp(ln x'in ortalaması). Raporlanan da budur.
Korelasyon katsayısı r'yi nasıl yorumlarım? \(|r|\) değeri 0.7'nin üzerinde ise güçlü, 0.4-0.7 arası orta, 0.2-0.4 arası zayıf, 0.2'nin altında ise neredeyse hiç ilişki yok demektir.
Tüm x değerlerim eşitse ne olur? O zaman \(S_{xx} = 0\) olur ve eğim tanımsız kalır (sıfıra bölme), dolayısıyla uyum hesaplanamaz. En az iki farklı x değerine ihtiyacınız vardır.
