로그 회귀 계산기

절편 A	2.1273178629
계수 B	2.4780012839
상관계수 r	0.9959866744
ln(x)의 평균	0.9574983486
x 평균 (기하평균)	2.6051710847
y의 평균	4.5

로그 회귀란?

로그 회귀는 데이터에 $y = A + B\cdot\ln(x)$ 형태의 곡선을 적합하는 방법입니다. 어떤 값이 처음에는 빠르게 증가하다가 점차 완만해질 때, 즉 x가 일정한 비율로 곱해질 때 y가 거의 일정한 폭으로 더해지는 관계에 유용합니다. 모든 x 값에 자연로그를 취하면, 변환된 변수 $u = \ln(x)$에 대한 일반적인 직선(최소제곱) 적합 문제로 바뀝니다.

상승하다 평평해지는 로그 최적 곡선이 있는 산점도 — 로그 회귀는 가파르게 상승한 뒤 평평해지는 곡선 $y = A + B\cdot\ln(x)$을 적합합니다.

계산기 사용 방법

표 입력란에 (x, y) 쌍을 한 줄에 하나씩, 쉼표나 공백으로 구분해 입력하세요. $\ln(x)$는 0이나 음수에서 정의되지 않으므로 모든 x 값은 반드시 양수여야 하며, 그렇지 않은 행과 빈 줄은 무시됩니다. 표시할 유효숫자 자릿수를 선택한 뒤, 적합된 절편 A, 계수 B, 상관계수 r, 그리고 평균값을 확인하면 됩니다.

공식 자세히 보기

$u_i = \ln(x_i)$로 둡니다. 먼저 u와 y의 평균을 구한 다음, 제곱합 $S_{xx} = \sum (u-\bar{u})^2$, $S_{yy} = \sum (y-\bar{y})^2$와 교차곱 $S_{xy} = \sum (u-\bar{u})(y-\bar{y})$를 계산합니다.

$$y = A + B\,\ln(x) \quad\text{fit to}\;\text{Data }(x_i,\,y_i)$$

기울기는 다음과 같습니다.

$$\begin{aligned} B &= \frac{\sum (u_i - \bar{u})(y_i - \bar{y})}{\sum (u_i - \bar{u})^2}, \quad u_i = \ln(x_i) \\ A &= \bar{y} - B\,\bar{u} \\ r &= \frac{\sum (u_i - \bar{u})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (u_i - \bar{u})^2 \,\sum (y_i - \bar{y})^2}} \end{aligned}$$

즉 기울기는 $B = S_{xy} / S_{xx}$, 절편은 $A = \bar{y} - B\cdot\bar{u}$, 상관계수는 $r = S_{xy} / (\sqrt{S_{xx}} \cdot \sqrt{S_{yy}})$입니다. 여기서 표시되는 "x 평균"은 산술평균이 아니라 기하평균 $\exp(\bar{u})$라는 점에 유의하세요. 적합이 로그 공간에서 이루어지기 때문입니다.

로그 곡선에서 절편 A와 기울기 계수 B를 보여주는 다이어그램 — A는 곡선의 수직 위치를 정하고, B는 $\ln(x)$에 따라 얼마나 가파르게 오르는지 조절합니다.

계산 예시

점 (1, 2.0), (2, 4.0), (3, 5.0), (4, 5.5), (5, 6.0)에 대해: $\text{meanLnX} = 0.957498$, $\text{meanY} = 4.5$, $S_{xx} = 1.615493$, $S_{yy} = 10.0$, $S_{xy} = 4.003192$입니다. 따라서 $B = 2.4780$, $A = 2.1273$, $r = 0.9963$(강한 상관관계)이 됩니다. 적합된 선은 다음과 같습니다.

$$y = 2.1273 + 2.4780\cdot\ln(x)$$

이며, 기하평균 $x = \exp(0.957498) = 2.6051$입니다.